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(5) 次は 先生、Sさん､Tさんの会話です。これを読んで下の①,②に答えなさい。
C
先生「次の表は, A欄に1から始まる自然数を順に書き, A欄のそれぞれの数の2乗をB欄に
書いたものです。 表を見て、 何か気づいたことはありますか。」
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 *****
A
B
Sさん 「A欄のとなりあう数の和を調べると, 3,5,7,9,11, と2ずつ増加してい
て、B欄のとなりあう数の差 (大きいほうの数小さいほうの数) を調べると、同様に,
3579.11. ·.…... と2ずつ増加しています。」
Tさん 「本当だ! A欄のとなりあう数の和は,A欄のそれぞれの数の2乗の差で表せていて
それらは奇数になっていますね｡｣
Sさん「確かに･･･。 「2+1=3.3=22-12」 や 「4+3=7,7=4-34」 が成り立って
いますね。」
先生｢そうですね。 16 1 = 12-02」と表せることから、どんな正の奇数も､連続する2
つの整数の2乗の差で表せることがわかります。 そのほかに、 何か気づいたことはあり
ますか。」
Tさん 「B欄には、『4の倍数より1大きい数」と「4の倍数」 が交互に並んでいます。 A欄の
数が奇数のときB欄の数は4の倍数より1大きい数で, A欄の数が偶数のときB欄の数
は4の倍数です｡」
Sさん 「B欄の数をよく見ると, 「4の倍数より1大きい数」 は 「8の倍数より1大きい数』に
もなっていますね。」
Tさん 「すなわち, 奇数の2乗は8でわると1余る数になるということですね。」
先生「そのとおりです。 どうしてそうなるのか確かめてみましょう。」
① Sさんが示した例 (『3= 22-12」 や 『7=42-32』)のように,27を連続する2つの整数の2
乗の差で表します。 次の式の □ にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。 ( 4点)
3)27
1716² 319
27-1
② 下線部が成り立つことを、次のように証明しました。
にあてはまる式を, n を使っ
た最も簡単な形で書きなさい。 ただし, 因数分解した形で書きなさい。 また.イにあてはまる
自然数を書きなさい｡ (4つの
□には同じ式が,3つのイ
には同じ数が入ります。)
(non+①)(5点)
ア
ア
ア
ア
(証明) 奇数は整数nを使って 2n+1 と表せるので, その2乗は,
+1
(2n+1)=4|
ここで,
は,連続する2つの整数の積を表している。
連続する2つの整数のどちらか一方はイの倍数だから,その積はイの倍数である。
したがって,
■は、整数mを使って,
ア
= m と表せる。
これより、あから, (2n+1)^2=8m+1
….....い
mは整数だから,より,奇数の2乗は8でわると1余る数になる。
(2n
ア
4-
42n +2n+1
