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重要 例題 77 球面のベクトル方程式
更に、原点を0,線分 OQ の中点をPとし,点A,Q, P の位置ベクトルをそ
空間において,点A(0, 6, 0) を中心とする半径3の球面上を動く点を考え
ぞれà, i, i とする。
基本 39, p.494 基本事項
このとき, 点Pが満たすベクトル方程式を求めよ。 また, 点P(x,y,z)が抜く
[2]
図形の方程式をx, y, z を用いて表せ。
指針 球面のベクトル方程式
[1] |\-c|=r
中心C(c), 半径r
[2] (-) (=0
[類 立命館大 ]
[1]
2点A(a), B(L) が直径の両端
これは,平面で円を表すベクトル方程式と
同じ形である。 そこで, p.442 基本例題 39 と同じ要領で,いずれかの形を導く。…
|2p-al=3
(()(
p-c
P/= C
C
解答
点Qは,点Aを中心とする半径3の球面上の点であるから,
lg-d=3 を満たす。
また,線分 OQの中点がPであるから、1/12/09 すなわち
g=2Dである。
よって
ゆ点満たすベクトル方程式は
HAS
よって, 点Pは,中心 (0, 3,0), 半径
3
ゆえに,点Pが描く図形の方程式は x2+(y-3)+2=
P
3
よって
s=2x, t=2y, u=2z
これらを①に代入して (2x)+(2y-6)^+(2z)2=32
ゆえに
x2+(-3)+2=2
2
の球面上にある。
9
AZ
0
al
Q
b
FS201
[参考] [点Pが描く図形の方程式を, 数学ⅡIの軌跡の考え方で求める (数学ⅡI 例題 108 参照)]
点Qの座標を (s,t, u) とする。
点Qは点Aを中心とする半径3の球面上の点であるから s2+(t-6)2+u²=32.... ①
< s, t, u はつなぎの文字。
S t u
線分OQの中点 ( 12.21/11/2) が点Pと一致するから 12/28=x,/1/2=1/1/2=2
2'2'
y₁
つなぎの文字 , , u
去する。
練習 点Oを原点とする座標空間において, A (5, 4, 2) とする。
③77 OP-20A･OP +36=0 を満たす点P(x,y,z)の集合はどのような図形を表
か。 また、その方程式をx, y, z を用いて表せ。
〔類 静岡大
[
11
2
