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要 例題 57 剰余の定理の利用 (3)
(1) f(x)=x-ax+6が(x-1)で割り切れるとき,定数a,b の値を求め
よ。
(2) 2以上の整数とするとき, x”-1 を (x-1)2で割ったときの余りを
求めよ｡
[学習院大 ]
CHART & SOLUTION
割り算の問題 基本公式 A=BQ+ R を利用
1 次数に注目
② 余りには剰余の定理
(1)
(x-1)2で割り切れる⇒f(x)=(x-1)2Q
⇒ f(x)がx-1で割り切れ、更にその商がx-1で割り切れる。
TEX
(2)次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし,α=1,6°=1 である。
a"_b"=(a-b)(a-1+α-26+α-362+..+ab-2+6n-1)
解答
(1) f(x)はx-1 で割り切れるから
(1) よって
1-α+6=0
したがって f(x)=x-ax+α-1
ゆえに b=a-1
g(x)=x2+x+1-α とすると
ゆえに
=(x-1)(x2+x+1-a)
両辺に x=1 を代入すると
0=a+b
pe 10=(1)ƒ
よって
-SI-1-AS-8-5-0-
03025
g(1)=0
a=3
よって
3-α=0
これを①に代入して 6=2
(2) x-1 を2次式(x-1)^2で割ったときの商をQ(x),
100), 3
りをax+b とすると,次の等式が成り立つ。 -XS-
x-1=(x-1)2Q(x)+ax+b
........
b=-a
ゆえに x"_1=(x-1)2Q(x)+ax-a
200
=(x-1){(x-1)Q(x)+α}
た閉
x-1=(x-1)(xn-1+xn-2+......+x+1) であるから
xn-1+xn-2+..+x+1=(x-1) Q(x)+α
両辺に x=1 を代入すると
1+1+ ······ +1+1= a
よって
a=n
ゆえに b=-a=-n) (s
したがって、求める余りは nx-nNTJA
00g
PRACTICE 57⁰
(1)a,bは定数で, xについての整式xxth
1
0 -a
1 1
11
基本 53
a-1 1
-α+1
-a+l
20
←条件から,g(x) もx-1
で割り切れる。
割り算の基本公式
A=BQ+R
(x-1)2Q(x)+α(x-1)
1 x 1
1 = x であるから、 左辺
の項数はxから タートま
でのn個
-)+bx[
