なぜ正接を求めるのに1+tan^2B…を使うのですか？

258 00000 基本例 157 三角形の辺と角の大小 △ABCにおいて, sin A: sin B: sinC=√7: :1が成り立つとき (1) △ABCの内角のうち、最も大きい角の大きさを求めよ。 (2) △ABCの内角のうち、2番目に大きい角の正接を求めよ。 指針 解答 なぜ 使うの 練習 ② 157 (1) 正弦定理 (1) 正弦定理より、a: bic=sin A sin B: sin C が成り立つ。 これと与えられた等式から最大辺がどれかわかる。 三角形の辺と角の大小関係より、最大辺の対角が最大角 であるから 3辺の比に注目し, 余弦定理を利用。 a<b>A<B a=bA=B a>b⇒A>B B (三角形の2辺の大小関係は、その対角の大小関係に一致する。) (2) まず、2番目に大きい角のcos を求め, 関係式1+tan20= COS A= a b C sin A sin B sin C cos B= a:b:c=sinA: sin B: sin C これと与えられた等式から よって, ある正の数んを用いて a=√7k, b=√3k,c=k SI-81+³81 と表される。ゆえに, α が最大の辺であるから, A が最 大の角である。 +008-as a 余弦定理により (√3k)²+k²-(√7 k)² 2-√3 k.k よって, 最大の角の大きさは A=150° (2) (1) から2番目に大きい角はBである。 余弦定理により k2+(√7k)²2-(√3k)² 2.k. √7 k 等式1+tan² B= 1 cos2 B から 1= tan B= 3 V 25 により a:b:c=√7:13:1 = tan'B -(2√7)²-1 28 cos² B 5 25 A> 90° より B90° であるから tan B>0 したがって (*)014 3 5 -3k² 2√3k² 5k2 2√7k² |-- -1= 3 2 5p0 2√7 549 25 /p.248 基本事項 4 重要 159 30- 5 8 7 sin A sin B sin C が成り立つとき 1 cos²0 ® を利用。 6 a sin A sin B a/a: b=sinA: sinB b ・から sin B sin C b:c=sin B: sinC 合わせると (*) となる。 kを正の数として C から △ABCにおいて (1) AABCの内角のうち、2番目に大きい角の大きさを求めよ。 (2) ABC の内角のうち,最も小さい角の正接を求めよ。 のとりうるの | ABCが魅角三冊 (1) 三角形の成立 b S=k とおくと a=√7k, b=√3k. c=k a>b>cからA>B>C よって A が最大の角で ある｡ √3 k B √7 k 三角比の相互関係。 (p.238 例題 144 参照。) (1) の結果を利用。 △ABC は鈍角三角形。 C [類 愛知工大] 851 VD #=38 7=81 (0) 角三角形に 角となる場合を 例えば CA (3) ∠Bが となり、 等式が得られる。 軽よって (①) 三角形の成立条件 く (2) どの辺が最大辺に [] I<x<3のとき の対角が90°より ゆえに すなわち よって ゆえに <x<3との共通料 2xくらのとき X² (x₁

例題60で 最後らへんで これはCA🟰BAではなくないですか？ 比が等しいと言っているだけと思ったのですが、、💦 何故か分からないので教えて欲しいです

二等分 の外角 DEの 基本 64 5 基本例題 60角の二等分線と比の利用 00000 「Eとする。 DE // BC ならば, AB AC となることを証明せよ。 △ABC の ∠C, ∠B の二等分線が辺AB, AC と交わる点を,それぞれD, CHARTO SOLUTION 平面図形の証明問題 条件を明確にする 平面図形の証明問題では,問題文の平面図形に関する 用語・記号を四角で囲むなどして、 解法の方針を見つ けやすくする。この例題では, ZB の二等分線, ∠Cの二等分線 定理1(三角形の角の二等分線と比) DE//BC ⇒ 平行線と線分の比 を利用して, AB=AC を示す。 直線 CD は ∠Cの二等分線であるから ･① AD: DB=CA: CB ...... 直線BE は ∠B の二等分線であるから AE: EC=BA : BC.∵ 一方, DE // BC であるから ②④から ①③から AD: DB=AE: EC・・・ |CACB=AE: EC CA: CB=BA: BC ...... したがって CA=BA すなわち AB = AC CACB=BABC (4) (1) A B (2) B (3) B A E C C A (0) E B p.325 基本事項 2 D A E (線分比) =(三角形の2辺の比) ◆CA: CB=BA: BC ↑同じ辺 INFORMATION 平面図形の証明問題を解く手順 ① 問題文の平面図形に関する用語・記号を四角で囲む。 ②与えられた条件をもとに図をかく。 場合によっては補助線を引く。 1③ 注意 証明の中で新たにつけ加える線分や直線のことを補助線という。 四角で囲んだ用語 記号から, 適用できる定理がどれなのかを考える。 そして, 図を参照しながら、式を立てる。 187509GRO BAZ Not 329 3章 7 三角形の辺の比,外心,内心、重心

（２）△ＡＢＣで∠Ａおよびその外角の二等分線が直線ＢＣと交わる点をそれぞれＤ，Ｅとする およびってなんですか？ 答えの図を見る限り内角二等分線と外角二等分線のどちらもしているのは何故ですか？ 外角の二等分線しか言われてないのに、、

出版 /www.chart.co.jp/ 328 00000 基本例題 59 三角形の角の二等分線と比 1 AB=3,BC=1,CA=6である△ABCにおいて、<A の外角の二等分 線が直線BC と交わる点をDとする。 線分BD の長さを求めよ。 線分 DEの (2) AB=4,BC=3, CA=2 である△ABCにおいて、<A およびその外 Ip.325 基本事項 2 の二等分線が直線BCと交わる点を,それぞれD, E とする。 長さを求めよ。 CHARTO SOLUTION 三角形の角の二等分線によってできる線分比 (線分比)=(三角形の2辺の比) ･･････ 内角の二等分線による線分比 内分 外角の二等分線による線分比 → 外分 各辺の大小関係を,できるだけ正確に図にかいて考える。 解答 (1) 点Dは辺BC を AB: AC に外分するから BD: DC=AB: AC AB:AC=1:2 であるから BD: DC=1:2 BD=BC=4 よって D (2) 点Dは辺BC を AB : AC に内分するから BD: DC=AB:AC=2:1 1 2+1 ゆえに よって ゆえに DC= また、点Eは辺BC を AB : AC に外分するから BE: EC=AB:AC=2:1 CE=BC=3 -xBC=1 DE=DC+CE=1+3=4 A B B D C JALAB : AC-3:6 WAGHAHA) C PRACTICE ... 59 ② (1) AB=8,BC=3,CA=6である△ABCにおいて, BCと交わる点をDとする。 線分CD E Ha 基本 64 <> ← BD: DC=1:2 から BD: BC=1:1 AB:AC=4:2 基本 △A Eと O AS BAA &&T S=AD 2=38 1=GA_AL 30 STS CHE 解 直線 直編 ① 2 1

なぜ、0≦x≦4において、f【x】の最大値＜g【x】の最小値となるのでしょうか？

202 (x)=2x+3,g(x)=-x+bx+a+α-9 がある。 次の条件が成り立つと、 (1) 0≦x4を満たすすべての実数x, x2 に対して、f(x1) <g(x2) が成り立つ。 な定数aの値の範囲を求めよ｡ (2) 0≦x54 を満たすある実数x1, x2 に対して、f(x)<g(x2) が成り立つ。 p.198 基本事項 2.基本 演習 例題 130 ②つの2次関数の 指針は互いに関係ないから, グラフを利用して考える(p.198参照)。

⑵のai:id=ca:cdになる理由が分かりません 教えてください💦

00000 基本例題 25 内心の位置ベクトル 3点A(a), B(), C(c) を頂点とする △ABCにおいて, AB=5,BC=6, CA=3である。 また, ∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。 (11) 点Dの位置ベクトルをdとするとき, dをb, c で表せ。 (2) ABCの内心Iの位置ベクトルをするときを a,b,c で表せ。 | p.370 基本事項 CHARTO SOLUTION 三角形の内心の位置ベクトル 角の二等分線と線分比の関係を利用 三角形の内心は3つの内角の二等分線の交点である。 (1) 右の図で AD は ∠Aの二等分線であるから BD: DC=AB: AC (2) Cの二等分線と AD の交点が内心Iであるから AI:ID=CA:CD 解答 (1) AD は ∠Aの二等分線であるから BD:DC=AB:AC=5:3 d=36+5c=36+ 5+3 5 → 8 よって 8 (2) △ABCの内心I は線分 AD上に あり, CIは∠Cを2等分するから AI: ID=CA: CD B 9 4 =4:3 よって -----5- -5- D --3-. -3 B =3a+4d_3a+4d 4+3 7 5 512 A ◆角の二等分線と線分比。 線分 AB を minに内 分する点P(D)は (1)より。CD=513BC=1/28×6=0 であるから , AI: ID=3: 3 → 3 5 → (1) * 5 7 = 1/3ã+4( 36 +²²)} = ²/2a + 2b + c から 十 -6 C 14 INFORMATION 内心の位置ベクトル A(z), B(6),C(c) を頂点とする△ABCにおいて,BC=1,CA=m, AB=nであ るとき,∠ABCの内心I()は吉=la+mb+nc l+m+n 証明は解答編 PRACTICE 25 の続きを参照。 と表される。 na+mo m+n ← BD: DC=5:3 inf B の二等分線を考 えても、同様に解答できる。 R= !

【黄チャート2+B】 （2）なのですが、この解き方って大丈夫なのでしょうか、、、？

3 別題 38 平面上の点の存在範囲 (2) 「△OAB において,次の式を満たす点Pの存在範囲を求めよ。 3' OP=SOA+tOB, 0≤s+t≤, s≥0, t≥0 ELOR OP=SOA+t, XI DTYY@F-[] #<\* *WAS 1≦s≦2, 0≦t≦1 CHART O ( (2) Ap.389,390 基本事項 ②. 基本 37 重要 43 COLUTION OP=sOA+tOB である点Pの存在範囲 st≦を変形して ≦1を導く ② まずsを固定して, tを動かす どっちも独立した範囲が ①1 条件より。 03s+3t 1 であるから, OP=3.5(130A) +34 (1308) とし、 もう一方の動きを OP=s′OÃ'+t'OB', 0≤s'+t'≤1, s'≥0, t'≥0 OFER$3. (2)は互いに無関係に動く。そこで,まずsを固定して tを動かすとよい。 11 053+15+5 0≤3s+3t またOP=SOA+fOB=38(1304) +3月 (10) 45 =1=2,24645 (=1 ここで, 3s=s', 3t=t'′ とおくと OP=s(OA) + (OB), oss'+t'si, s'20, 1'20 00000 上を動く。 ただし,OC=OA' + OB である。 OP=OA'+tOB ここで,tを≦t≦1の範囲で変化 させると, 点Pは右の図の線分 ACAAD 0.6s 10-20 43 051 よって, 1/2OA=OA-OB-OB となる点A',B'をとる と、点Pの存在範囲は △OA'B' の周および内部である。 20 CC'E (2) sを固定して, OA'=sOA とす B ると P tOB SOA あるとき 一方をまず固定して鼻 OP=OA' + OB 0≤0+A≤1, 020,0 A≥0 この形を意識して変形する。 TUOSS 395 APB' 点Pの存在範囲は平行四辺形ADEC の周および内部である。 B ◆s と tは無関係に動く。 そこで まずs を固定し tを動かしPの動く 範囲 (線分 A'C') を考え る。 次に, sを動かすと どうなるかを考える。 ベクトル方程式 次に, sを1≦s≦2の範囲で変化させると,線分 A'C' は図の線分 AC から DE まで おもちなのもの 平行に動く。ただし, OC = OA+OB, OD=20A, OE = OD+ OB である。 よって, OA+OBOC, 20A = OD, 20A+OB = OF となる点 C,D,Eをとると､ PARK HAL SAYF10# 満たす点Pの存在範囲を求めよ。 12:47

数3です。 この式変形を教えてください。

192 重要 例題 113 漸化式と極限 (5) ・･･ はさみうちの原理 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, ･･････) を満たすとき (2)3-an+1< 1/12 (3-an)を証明せよ。 3 (1) 0<a<3 を証明せよ。 (3) 数列{an} の極限値を求めよ。 指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す→ 数学的帰納法の利用。 (2) (1) の結果,すなわち an> 0, 3-an> 0 であることを利用。 (3) 漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 そこで, (2)で示した不等 ! 式を利用し, はさみうちの原理を使って数列 {3-an} の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて n≦an≦gn のとき limp=limgn=α ならば n-00 7140 なお、次ページの補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) 0<an<3 ① とする｡ [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3 n=k+1のときを考えると, 0<a<3であるから ak+1=1+√1+an>2> 0 練習 ③ 113 .….... ak+1=1+√1+an <1+√1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 よって,n=k+1のときにも ①は成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて ①は成り立つ。 3-An -(3-an) (2) 3-an+1=2-√1+an 2+√1+an (3)(1),(2) から 0<3-an S したがって liml 2 (13) (34)=0であるから 11-00 lim(3-an)=0 1400 liman=3 n-1 ≤ (1) ² (3-a₁) 3 n-00 LE a=2, n≧2のとき an liman = a n→∞ 3 2 [類 神戸 p.174 基本事項 3 基本 105 van-1 1 数学的帰納法による。 ◄0<a₁<3 KOM 0<a から √1+an>1 an<3から √1+ak <2 <3-α>0であり、a>0か ら 2+√1+an>3 n≧2のとき, (2) から 3-an< (3-an-1) <(1) ²(3-an-2)..... n-1 · < (-/-) "¹¹ (3-as) 3 を満たす数列{an}について

2枚目を1枚目と同じように計算できるんではないかと思いしたんですが、（3枚目）違いました 考え方はあっている？のになぜ1枚目のような方法で解けないのですか？

304 基本例題 47 対戦ゲームの優勝確率 あるゲームでAチームがBチームに勝つ確率は 22, BチームがAチーム 勝つ確率は 1 であるとする。 A,Bがゲームをし, 先に4ゲームを勝って ームを優勝とする。 (1) 4ゲーム目で優勝チームが決まる確率を求めよ。 (②2) 7ゲーム目で優勝チームが決まる確率を求めよ。 CHART O OLUTION > n回目で決着 (n-1) 回目までに着目 ...... (②2) Aが4勝3敗で優勝する確率を C (1/2)^(1-12/2) 7C4 解答 (1) 4ゲーム目で優勝チームが決まるのは, AチームまたはB チームが4連勝する場合であり,これらは互いに排反である。 よって、求める確率は (23) 2+(4)-47 = (2)[1] 7ゲーム目でAチームが優勝する場合 6ゲーム目までにAチームが3勝し, 7ゲーム目にAチー すぐにこの思想になることが大事!! ムが勝つときであるから, その確率は *C. ( 13 ) *( ² ) ² × ² / - としては誤り! は7ゲーム目までにAが4勝する確率であり,例えば,Aが4連勝した後 で3連敗する場合も含まれている(この場合は4ゲーム目で優勝が決まる)。 7ゲーム目で優勝が決まるから, 6ゲーム目までにAが3勝し7ゲーム目に Aが勝つ確率を求めなければならない。 B が優勝する場合も同様。 4023 3×36 + 240 3 3 [2] 7ゲーム目でBチームが優勝する場合 23 合 13 + 23 [1] と同様にして [1], [2] は互いに排反であるから、求める確率は 20 23 23 160 3 -X36=20x 36 729 ..(1/)(///x1/13-28x72 C$ ( 1 ) * ( ²3 ) * - - - * 20 23 重要例 右の図のよう ある。 地点 て地点B Ip.298 基本事項、基本品 X 確率を求め 北に行くか 確率で CHART C 最短 求め これ 本問 AT A,Bのどちらが優勝し てもよい。 確率の加法定理。 ▪nCrp" (1-p)"- 6ゲーム目までにBが3 勝し,7ゲーム目にBが 勝つ場合。 確率の加法定理。 A 解答 右の図の る。Pを があり, [1] 道 この石 PRACTICE･･･ 47③ A, B の2人があるゲームを繰り返し行う。 1回のゲームでAがB であるとする。 に勝つ確率は 1/23,BがAに勝つ確率は (1) 先に3回勝った者を優勝とするとき, Aが優勝する確率を求めよ。 ((2) 一方の勝った回数が他方の勝った回数より2回多くなった時点で勝った回数の多 い者を優勝とするとき, 4回目までにAの優勝する確率を求めよ。 [2] 道 この よっ PR

三角関数の和積の公式を用いる問題なんですけど、 計算がどうなってるのかが分かりません💦 解説お願いします🙏

240 基本 例題 152 (1)積→和,和→ (7) sin 75° cos 15° 8-A 解答 (2) △ABC において,次の等式が成り立つことを証明せよ。 FAOB- OP 0+ sinA+sinB+sin C=4 cos mia. H-1A+B+C=xから、最初にCを消去して考える。 そして,左辺の sin A + sin B に 和積の公式を適用。 和と積の公式 積の公式を用いて,次の値を求めよ。 () sin 75°+sin 15°=2 sin- ! ゆえに (1) () sin 75° cos 15°= {sin (75° +15°)+sin(75° — 15°)} 2 = 1/ 4 よって -cos 80° + (2) A+B+C=²5 (1) sin 75°+sin 15° ( cos 20° cos 40° 75°+15° 2 2 2+√3 (sin 90°+sin 60°)= (1 - 1/ (1+√3)= ² + 1/3 2 4 2 1 cos 80°-- -c 4 COS p)nie+(849) 1 cos 20° cos 80°= 4 cos 80° + = () cos 20° cos 40° cos 80°= (cos {cos 60°+cos(-20°)}cos 80°= 1/2 (21/12) +cos 20° 2 sin A+sin B+sin C=2 sin- (8-30) 200- =2 sin = 2 cos 4 co 75°-15° 2 (2) △ABCにおいて 海の等 A+B 2 A+B 2 A 2 cos- PRESE 16-wale (8+1)niel C= π-(A+B) +18+28 sin C=sin(A+B), cos= cos(+/- A+B). 2 20 COS cos A B C / cos COS 22 p.239 基本事項 ①1 ② 1 1 cos 80°+cos 100° += cos 80°+cos (180°-80°) + 1 8 4 8 1 1 8 8 =2 sin 45°cos 30°=2. onle=(8-)nie -cos 80° + COS •2 cos A-B 2 COS Apogonie 80 ng =8) 2001-201 2 B cos cos 1 1 2 2 ● (1) cos 105°-cos 15° A-B 2 B Acos(-) 2 200) |=sin- +sin 2. TAOR +cos A <RAOR A+B 2 -{cos 100° +cos(-60°)} +y)+tan( A+B 2 A+B 2 √2√3 2 2 24 N 2 2. mie satu cos 80° 練習 (1) 積和,和→積の公式を用いて,次の値を求めよ。人分1② 152 (7) cos 45° sin 75° (1) sin 20°. 90+01

（2）の方程式の求め方を教えて頂きたいです。下の参考ではなくもっと簡単に求める方法はありませんか？ 最初自分はPの中心を一般形に代入するのかと思っていたのですが違うみたいなので教えて頂きたいです。

500 重要 例題 77 球面のベクトル方程式 空間において,点A(0, 6, 0) を中心とする半径3の球面上を動く点Qを考える 更に, 原点を0,線分 OQ の中点をPとし, 点A, Q, P の位置ベクトルをそれ このとき, 点Pが満たすべクトル方程式を求めよ。 また, 点P(x, y, z) が描く ぞれ,i, とする。 [類 立命館大] 基本 39, p.494 基本事項 図形の方程式をx, y, z を用いて表せ。 指針 球面のベクトル方程式 [1] \p-c=r 中心C (C), 半径r [2] (-a) (-6)=0 [1] p C 解答 点Qは,点Aを中心とする半径3の球面上の点であるから, g-al=3 を満たす。 (s また,線分 Q の中点がPであるから, 5/12/10 すなわち g=2p である。 よって 2点A(a), B(L) が直径の両端 これは,平面で円を表すベクトル方程式と 同じ形である。 そこで, p.442 基本例題 39 と同じ要領で, いずれかの形を導く。 12p-al=3 3 図ゆえに,点Pが満たすベクトル方程式は1万100=12/0 (S & D) よって, 点Pは,中心 (0, 3,0), 半径 12/3の球面上にある。 x² + (y−3)²+z² = ²/ 9 よって s=2x,t=2y, u=2z これらを①に代入して (2x)+(2y-6)^+(2z)²=32 ゆえに C ゆえに,点Pが描く図形の方程式は x2+(y-3)+2=- $=s (8-)) 9 4 [2] P b Cass=32 11 +) 51KG [参考] [点Pが描く図形の方程式を、数学IIの軌跡の考え方で求める(数学ⅡI 例題 108 参照)] 点Qの座標を (s,t, u) とする。 kab- ■ s, t, u はつなぎの文字。 ① 点Qは,点Aを中心とする半径3の球面上の点であるから s'+(t-6)^+u²=32 線分OQの中点 S t u 1/2/12 ) が点Pと一致するから 2' 2 S u 12/2 = x 1/2=1/1/21=2 =y, ① 平 基 つなぎの文字 s, t,uを消 去する。 [