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3章
123
重要 例題
71 定義域によって式が異なる関数
00000
F(x)=(20
(0≦x<2)
(2) y=f(f(x))
8-2x (2≦x≦4)
関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
き、次の関数のグラフをかけ。
(1) y=f(x)
指針
解答
定義域によって式が変わる関数では, 変わる 境目のx, の値に着目。
(2)f(f(x)) f(x)のxに f(x) を代入した式で,
f(x) <2のとき 2f(x),
2f(x)4のとき 8-2f(x)
(1)のグラフにおいて, 0 f(x) <2となるxの範囲と、f(x)となるxの範囲
を見極めて場合分けをする。
(1) グラフは図 (1) のようになる。
(2)f(f(x))=
J2f(x) (0≦f(x)<2)
8-2f(x) (2≤f(x)≤4)
よって, (1) のグラフから
0≦x<1のとき
1≦x<2のとき
2≦x≦3のとき
f(f(x))=2f(x)=2.2x=4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-2.2x
=8-4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)
=4x-8
変域ごとにグラフをかく。
< (1) のグラフから,f(x)
の変域は
0≦x<1のとき
0≤f(x)<2
1≦x≦3のとき
2≤f(x)≤4
3<x≦4のとき
0f(x)<2
また, 1≦x≦3のとき,
f(x) の式は
利用する。
23
123
る
y
2
11-2
T
-2
こも入る
2≦x≦3なら
f(x)=8-2x
のように2を境にして
式が異なるため, (2) は左
この解答のような合計4通
りの場合分けが必要に
なってくる。
3<x≦4のとき
f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)
1≦x<2なら
=16-4x
f(x)=2x
よって, グラフは図 (2) のようになる。
(2)
(1)
y
y↑
2
I 2
0 1
23 4
x
0 1
234
x
実数
が成り
(3)[0])
参考 (2) のグラフは, 式の意味を考える方法でかくこともできる。凸8から2倍を
[1]f(x) が2未満なら2倍する。
[2]f(x) 2以上4以下なら, 8から2倍を引く。
[右の図で、黒の太線 細線部分が y=f(x), 赤の実線部分が
y=f(f(x)) のグラフである。] なお,f(f(x)) f(x) f(x) の
合成関数といい, (ff) (x) と書く(詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。
に
4F-
2
0
2倍する
引く
