20°180° とする. 0の方程式 2cos'0+sin0+a-30... ① に
ついて,
(1) ①が解をもつための定数 αの値の範囲を求めよ.
(2) ①が異なる4個の解をもつときの定数αの値の範囲を求めよ。
考え方 例題 87 (p.164~165) の関連問題
解答
(1) sin=t とおくと, ① は, 2(1-t2)+t+a-3=0 より 定数を分離して,
直線 y=α と放物線y=2t2-t+10≦t≦)の共有点をみるとよい。
20°
sind=t (0≦t<1) となるは1つのに対して2個あるこ
180°のとき
とに注意する. (sin0=t=1のときは0=90°の1つのみ)
(1) sin=t とおくと, ① は, 21-t)+t+a-3=0
a=2t2-t+1 …①
より、
0°≦0≦180°のとき, 0≦sin0≦1より,0≦t≦1
したがって
200+0 mie
y=a
sin20+cos20=1より,
cos20=1-sin20
・②
とおくと,
定数αを分離する。
ly=2t2-t+1 ...... ③
②と③のグラフが, 0≦t≦1 YA
において共有点をもつ.
③より, y=2t2-t+1
2
①' の解は,②と③のグ
ラフの共有点の t座標
t=1 のとき y=2
t=0 のとき y=1
2 7
091
8
よって, 右の図より,
78
nia S
≦a≦2
sin0=1 を満たすは
8
6805-0
011
42
1
t
8=90°の1つのみ
YA
(2) 0°≦0≦180°のとき
sino=k (0≦k<1) を満た
sino=k(0≦k
すの値は2個存在する.
1
YA
したがって,条件を満た
y=k
-1
すとき ③のグラフの
02
点 (1,2)を除いた部分と
6
01
② のグラフが異なる2点で
交わる.
→
0
XC
er
よって,(1)の図より,
x
0≦t<1 において ②と
③ が異なる2点で交わる
⇔ ①'が 0≦t<1 に
異なる2個の解 tをもつ
⇔ ①が異なる4個の
8203 10>
7
8
// <a≦1
解をもつ
08120 00
第4
