練習
114 する。
nを自然数とするとき, mSnで, mとnが互いに素であるような自然数 mの個数を{
(1) f(77) の値を求めよ。
(2) F(pa)=24 となる2つの素数カ, q(かくq)の組をすべて求めよ。
(3) S(3*)=54 となる自然数kを求めよ。
(類早稲田
(1) 77=7·11 であり, 7と11は互いに素である。
f(77)は1から 77 までの 77個の自然数のうち,
1·7, 2.7,
を除いたものの個数である。
そ7:11 が重複してい
ことに注意。
10-7, 11·7/1·11, 2·11, …, 6·11
そオイラー関数の市
り (7-11)=¢1)
=(7-1)(11-1)
よって
f(77)=77-(11+7-1)=77-17=60
(2) [重要例題114 (2) の結果を用いる]
p, q(か<q)は素数であるから
(カ-1)(q-1)=24とすると, 1<カー1<q-1であるから
(カ-1, q-1)=(1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6)
f(b4)=(カ-1)(q-1)
そp22であるから
p-122-1
ゆえに
(p, q)=(2, 25), (3, 13), (4, 9), (5, 7)
(b, q)=(3, 13), (5, 7)
p, qがともに素数である組は
(3) [重要例題114(3) の結果を用いる]
かは素数, kは自然数とするとき, f(か)=Dがーかー1 が成り立つ
から
f(3*)=34-3k-1=34-1(3-1)=2·3*-1
54=2-3° であるから,f(3*)=54 とすると
指数部分を比較して
そ素因数分解の
(本冊か.471 参照
2-3-1=2-33
k-1=3
よって
k=4
