MA5S1-Z1J1-05
確率は1である。
1/31(-1/2)^
-(-+)"}
してもよい。
と「白白/
こう。
率は1で,
「白白/赤
った次のよ
回って
§ 3. 確率漸化式~ まとめて考える〜
§1 で確認したように,確率漸化式の問題では
いくつかの状態の間の、 遷移を表す図をかく
ことがポイントであった。 この 「いくつかの状態」について、何をもって1つの状態とみなすかに
は実は工夫の余地があり, うまく 「1つの状態」とみなせるまとまりを見つけられるとすっきりと
した確率漸化式が作れる。 $2の 「解説」で触れた. 「赤赤/白白」 と 「白白/赤赤」をひとまとま
りにする考え方は, その一例といえる。
$3 では,このような「何を1つの状態とみなすか」 の工夫について掘り下げてみよう。
入試問題 3 レベルB
1から4までの数字を1つずつ書いた4枚のカードが箱に入っている。 箱の中から1枚カー
ドを取り出してもとに戻す試行をn回続けて行う。 回目に取り出したカードの数字をXkと
し,積 XX2…Xn を4で割った余りが 0 1. 2.3である確率をそれぞれ Pn, qn, In, Sn とす
(2018年九大)
る。 P, Q, n, Sn を求めよ。
着眼点
積X1X 2... Xn を計算した値が、1のとき,2のとき･･・･のように分けるのは,とても現実的とは
いえない。 ここでは, 「4で割った余り」 だけに注目して、余りが同じものを1つのかたまりとみな
して状態の遷移をまとめてみよう。
解答
(1) カードを1枚取り出した
とき, 書かれた数を4で割っ
た余りは等しい確率で 0, 1,
2,3となるので, p = g1 =
== 1 である。また,
取り出したカードによる, 積
を4で割った余りの変化を
まとめると右の図のように
なるので
Pn+1=
Pn+1 = Pn + +9₂ + 1/{rn + 1/ sn
an
9n+1=1/19n+1/18m
/ /an + 1/2 √₂ +
rn
Sn
Sn+1=1/19n+1/18n
4
② + ④ より
(
(余り1
1/14sn
Gn+1+ Sn+1 = 1/2 (9n + Sn)
余り2
|
余り 0
YMA5S1-Z1J1-06
7
余り3
4
2
14
