-7+9が素数となるような整数 n をすべて求めよ。
(京大・理文共通・18)
これもに 1,2,3と代入して実験してみると,
n
1 2 3 4 5
n³ - 7n+9 3 3 15 45 99
となり,「あれ?7+9は3の倍数かも」と気づきます。 そこで,
連続3 整数の積-nを思い出してもらうと,
n-7n+9=(n-n)-6n+9=(n-1)n(n+1)-3(2x-3)
と変形できて,(n-1)n(n+1)が3の倍数,3(2-3) も3の倍数で,
といえます。
7n+9は3の倍数である
3の倍数で素数は3だけですから
n-7n+9=3
なぜこうなった?
(n-1)(n-2)(n+3)=0
∴.n=1,2,-3
これでおわりです。こんなふうにスッと解けると気持ちいいですね。