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[数上級プラン120 (共通テスト対策) 問題52]
を実数として, Q(x)=x+px²+2px+8 とする。 方程式 Q(x) =0は,異なる3つの
負の実数解 α, β, r をもつとする。 ただし, α<B<y とする。 α, B, y が条件
(β-α): (r-β)=4:1 ①を満たすとき、3つの解α, β, Y と の値を求めよう。
Q(アイ)=0であるから, 因数定理により
Q(x)=(x+ウ){x+(カーエ)x+オ
が成り立つ。
2次方程式x2+(カーエ)x+1
******
オ =0 ②が異なる2つの負の実数解をもつと
きのうのとりうる値の範囲は,カ
キ である。
カの解答群
>
① <
② N
③
④キ
解と係数の関係から, 方程式の解の1つは絶対値が2より大きく, 他の解の絶対値は
ク
2より小さい。 したがって, 解と係数の関係と条件 ①によりα=-
解説
コ
シス
1, 7=-
p=
である。
サ
Q(-2)=(-2)+p.(-2)²+2p.(-2)+8
=-8+4p-4p+8=0
x2+(-2)x+4
x+2)x+
x2+ 2px+8
よって, Q(x)はx+2を因数にもつから
2x2
Q(x)=(x+2){x2+(p-2)x+4}
(p-2)x²+
2px
と因数分解できる。
(カー2)x2+2(p-2)x
2次方程式+ (p-2)x+4=0 ② の2つの
4x+8
4x+8
解を α', β'とし, 判別式をDとする。
0
D=(p-2)²-4-1-4-p²-4p-12
解と係数の関係から α'+B'=-(p-2)=2-p,
α'B'=4
方程式②が異なる2つの負の実数解をもつための条件は
D0 かつ α' + B'<0 かつα'B'>0
D0 から p2-4p-12>0
これを解くと
p<-2,6<p
'+'<0から
よって
2<p
''=4から,'B'> 0 はすべての実数に対して成り立つ。
以上から、のとりうる値の範囲は p>6 (0)
『 a' <B' とすると,''=4から,>6のとき
α'<-2, -2<B'<①
このことと<B<y から, Q(x) = 0 の実数解 α, β, y について, β=-2 かつ α=a',
r=β'である。
方程式 ②の解と係数の関係から a+y=2-p, ay=4
①から
(-2-a): (y+2)=4:1
よって
-2-a=4(7+2)
ゆえに
a=-47-10 これを αy=4に代入して整理すると
2y"+5y+2=0
よって
(2y+1Xy+2)=0
ゆえに T= 2-2
