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基本例題 62 解か
3次方程式x+ax²+bx+10=0 の1つの解が
の定数 α b の値と他の解を求めよ。
CHART & SOLUTION
x=α がf(x)=0の解⇔f(α)=0
代入する解は1個(x=2+i) で, 求める値は2個 (aとb)であるが、
複素数の相等 A, B が実数のとき A+Bi=0 ⇔ A=0 かつ B=0
解答
x=2+iがこの方程式の解であるから
の値を求めることができる。
また、 実数を係数とする n 次方程式が虚数解をもつとき, 共役な複素数 αも解である
により, α, bに関する方程式は2つできるから,a,
とを用いて,次のように解いてもよい。
別解 1,2αとαが解であるから, 方程式の左辺は (x-α)(x-α) すなわち
x2-(a+α)x+αα で割り切れることを利用する。
別解 3 3つ目の解をkとして,3次方程式の解と係数の関係を利用する。
(2+i)³+a(2+i)²+b(2+i)+10=0+ pe
ここで, (2+i)=2°+3・22i+3.2i+i=2+11i,
x=2+i
(2+i)^=22+2・2i+i²=3+4i であるから
2+11i+α(3+4i) +6(2+i) +10=0
iについて整理すると
3a+26+12+(4a+b+11)i=0
3a+2b+12,4a+6+11 は実数であるから
3a+2b+12=0, 4a+6+11=0
であるとき
これを解いて
a=-2,6=-3
ゆえに, 方程式は x3-2x2-3x+10=0
f(x)=x²-2x2 - 3x+10 とすると
p.98 基本事項 2
f(-2)=(-2)-2・(−2)²-3・(-2)+10=0
よって, f(x) は x+2 を因数にもつから
f(x)=(x+2)(x2-4x+5)
したがって, 方程式は <x+2)(x²−4x+5)=0
ゆえに x+2=0 または x2-4x+5=0
x2-4x+5=0 を解くと x=2±i
よって,他の解は x=-2, 2-i
別解 1 実数を係数とする 3次方程式が数解 2+iをもつ
から, 共役な複素数 2-1 もこの方程式の解である。
よって,x3+ax2+bx+10 は {x-(2+i)}{x-(2-)}
infx-2=i と変
両辺を2乗する
x²-4x+5=0
これを利用して
x+ax²+bx+100
下げる方法
目以降と同じ)もある。
(p.93 基本例題55
この断り書きは
A,Bが実数の
A+Bi=0
⇔A=0 かつ
組立除法
1 -2 -3 102
-2 8-10
1-450
の部分の断り書
重要。
右の割り
が0に
これが
これを
このと
よっ
ゆえ
した:
SAN 2
から
よっ
し
ゆ
右
