-
![]()
テーマ 106 極値をもつための条件
応用
関数f(x)=x+ax²+2ax+5 が極値をもつような、定数αの値の範囲を
求めよ。
f(x)が3次関数のとき, f(x)は2次関数である。 したがって
3次関数f(x) 極値をもつ⇔(x)の符号が変わる点がある
⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ
解答 f(x)
極値をもつのは, f (x) = 0 すなわち 3x²+2ax+2a=0
が異なる2つの実数解をもつときである。
...... ①
よって, ①の判別式をDとすると
a²-3.2a>0
すなわち
a(a-6)>0
したがって a < 0, 6 <a 答
✓ 練習 235
関数f(x)=x-3ax2+3(a+2)x+1が極値をもつような, 定数
αの値の範囲を求めよ。
234 (1) f'(x) =3x2-2kx+5
x)\ E)
よって, yは
*f(x)が常に増加するための条件は,すべての
実数xについてf'(x) 20が成り立つことであ
6.
A
よって、 2次方程式f'(x)=0の判別式をDと
D≤0
すると
2=(-k)2-3.5=k-15であるから
D
4
したがって
240
2150
-√15≤ k ≤√151
(2) f'(x)=-3x²+2kx-6
f(x)が常に減少するための条件は,すべての
実数xについてf'(x) ≤0 が成り立つことであ
る。
よって, 2次方程式f(x)=0の判別式をDと
DSO MOMRAH
すると
A
2=(-3)(-6)=k-18であるから
-xx-2-18≤0
したがって3
235 f'(x) =3x2-6ax+3(a+2)
=3(x2-2ax+α + 2 )
f(x) が極値をもつための条件は、f'(x) = 0 すな
わちx2-2ax+a+2=0 ...... ① が異なる2つ
の実数解をもつことである。
よって、 ①の判別式をDとすると
x=0で極大値 -5,
x=1で極小値10,
x=3で極大値 22
をとる。
また, グラフは右の
図のようになる。
解答編
(2) y'=4x3-12x2=4x2(x-3)
無
1
0-5
3
-10
el-y'=0 とするとx=0,3
の増減表は次のようになる。
x
0...
3
y'
=
0
=
0
+
極小
y
5
-22
よって, yは
x=3で極小値-22
をとる。
3
また, グラフは右の図。
のようになる。
0
注意 x=0では, 極大
-22
も極小でもない。
y'=0 とすると 0 x=±2
237(1) y'=3x2-12=3(x²-4)=3(x+2)
の増減表は次のようになる。
D
=(-a)²-1.(a+2)>0
4
すなわち
(a+1)(a-2)>0x
したがって
a<-1, 2<a
236 (1) y'=-12x3+48x2-36x
x
-3
-2
***
2
y
+ 0
-
0 +
9
極大
極小
7
16
-16
よって、この関数は
x=-2で最大値 16.x=2で最小
3
