問題199nを自然数とする。 正 6n 角形の異なる3個の頂点を結んで三角形をつくるとき, 次の三角形
の個数を求めよ。
(1) 正三角形
(2) 直角三角形
(3) 二等辺三角形
6角形の頂点を順に A1, A2, A3,...,
Aon
A1
A6n-1
A2
Aon とする。 また,この正 6角形の外接円
の中心を0とする。
(1)k=1,2,3,..., 2n に対して,
6角形の3頂点Ak, A2n+k, An+kを
結ぶと正三角形が1つできる。
よって, 求める正三角形の個数は
2n 個
0°
A3
21,2,3,..., 3n に対して, 線分AkA3n+k は外接円の直径
となるから, Ak, A3n+k およびこの2点を除く正6n 角形の1つの
頂点を結ぶと直角三角形が1つできる。
よって, 求める直角三角形の個数は
3nx (6n-2)=6n(3n-1) (個)
(3)k=1,2,3,..., 6n に対して, 頂点 A および直線 OA に
名形の異なる2頂点を結ぶと,
Ak を頂点とし
△A1A2n+1A4n+1,
△A2A2+2A4+2,
...,
AA2n An An
は正三角形である。
直径に対する円周角は
90°である。
Ak, A3n+k 以外の頂点
6-2 (個) ある。
