基本 例題 90 平均値の定理を利用した不等式の証明
平均値の定理を用いて,次のことを証明せよ。
e²
1/2 <a<b<1のときa-b<blogb-aloga<b-a
・基本 89 重要 91
平均値の定理の式は
指針
f(b)-f(a)
b-a
-=f'(c) (a<c<b)
①
一方, 証明すべき不等式の各辺を6-α (>0) で割ると
blogb-aloga
-1-
<1
b-a
① ② を比較すると, f(x)=xlogx (a≦x≦b)において, -1<f(c) <1 を示せばよい
ことがわかる。このように,差f(b)-f(a)を含む不等式の証明には,平均値の
定理を活用するとよい。
★
CHART 差f (b)-f(α) を含む不等式 平均値の定理も有効
関数f(x)=xlog x は, x>0で微分可能で
x>0で微分可能である
解答
f'(x) =logx+1
から,x>0で連続。
よって, 区間[α, b] において,平均値の定理を用いると
blogb-aloga
b-a
指針
★の方針。
=logc+1, a<c<b
を満たすc が存在する。
・<a<b<1とa<c <bから
1/1/2 <<1
e2
各辺の自然対数をとって log <logc<log 1
e2
1
すなわち
−2<logc<0
log
この不等式の各辺に1を加えて
f(b)-f(a) を含む不
等式については,平均値
の定理を意識しよう。
なお, 2変数の不等式の
扱いについて, p.200 で
まとめている。
11/2=loge^2=-2.
log1=0
−1<logc+1<1
blogb-alog@<1
よって
-1<
b-a
この不等式の各辺に bα (0) を掛けて
a-b<blogb-aloga<b-a
<a<bであるから
ba>0
