例題 231 定積分と係数決定
f(x)=ax²+bx+c とする。 このとき,どのような1次以下のxの整式で
→例題 51,229
決される関数 g(x)に対してもS, f(x)g(x)dx = 0 が成り立つようなf(x)
を求めよ。 ただし, f(1) = 2 を満たすとする。
Action Lif(x)dx は偶関数・奇関数の性質を利用せよ
･11次以下のxの整式をpx+q とおく。
解法の手順・・
f(x) g(x)dxの値を計算する。
3 p, g に関する恒等式とみて,各項の係数を比較する。
解答
f(1) = 2 より a+b+c = 2
次に,g(x) = px+q とおくと
[₁ f(x)g(x)dx= [(ax²
(ax²+bx+c)(px+q)dx
= [ {apx³ + (aq+bp)x² + (bq + cp)x+cq}dx
[ {(ag+bp)x² + cq}dx
= 2[// (aq + bp)x³ + cqx]
2
- (aq+bp) +2cq
3
2
=2
=
=
よって,
+
3
∫f(x) g(x)dx=0のとき
²3 bp + (²/3a+2c)a=
これが任意の実数gについて成り立つとき
-a +2c=0
a = 3, b = 0, c = -1
f(x)=3x-1
=
2
① ②
したがって
a +
... 1
nが0以上の整数のとき
2n
[²₁x² dx = 2√²x²
[²₁x²+1 dx = 0
-a
1=0 + どんなP.9でも成りたつ
からとつくは乳
pとg について式を整理
した。
x2ndx
pg についての恒等式で
ある。
b=0
(2a +6c = 0
la+c=2
以下のの整式
.
