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第3章
三口
76
10
基礎問
基
「基礎問」とは
できない)問
本書ではこの
効率よくまと
■入試に出題
取り上げ,
行います。
実にクリア
■「基礎問」
題でに
■1つのテー
とし, 見
ました。
第3.
47 軌跡(V)
mを実数とする.zy 平面上の2直線
mx-y=0......D,
5% について,次の問いに答えよ.
5/8
x+my-2m-2=0 ...... ②
(1) ① ② は m の値にかかわらず,それぞれ定点 A, B を通る。
A,Bの座標を求めよ.
○ (2) ① ②は直交することを示せ.
(3) ①②の交点の軌跡を求めよ.
精講
(1) 「mの値にかかわらず｣ とあるので,「m について整理して
についての恒等式と考えます. (37)
(2) ② 「y」 の形にできません. (36)
(3) ①②の交点の座標を求めて, 45 のマネをするとかなり大変です
したがって,(1),(2)を利用することを考えます。このとき
Ⅲを忘れてはいけません .
解 答
ことはないので(注), 点 (0, 2)は含まれない.
よって,求める軌跡は
円 (x-1)2+(y-1)2=2 から, 点 (0, 2) を除いたもの.
77
84
一般に,y=mx+n型直線は, y軸と平行な直線は表せません.
それは、の頭に文字がないので,m, nにどんな数値を代入しても
が必ず残って、x=kの形にできないからです。逆に,この頭には文
字がついているので,m=0 を代入すれば,y=nという形にでき,
軸に平行な直線を表すことができます。
ロード
45 の要領で①,②の交点を求めてみると
2(1+m)2m(1+m)
考
x=
1+m²y=
1+ m²
となり,まともにmを消去しようとすると容易ではなく, 除外点を見つける
こともタイヘンです.もしも誘導がなければ次のような解答ができます。こ
れが普通の解答です。
I
ys
0 のときよりm=y十ェで割りたいの 2
で x=0, z=0
y2 2y
②に代入して,+
-2=0
で場合分け
IC
IC
:.x2+y2-2y-2x=0
(x-1)2+(y-1)²=2
0
1
次に, x=0 のとき,①より, y = 0
これを②に代入すると, m-1 となり実数m が存在するので,
点 (0, 0) は適する.
改訂
(1)の値にかかわらず mx-y=0が成りたつとき,r=y=0
A(0, 0)
②より (y-2)+(x-2)=0だからy-2=0, X-1=0mについて整理
.. B(2, 2)
(2) m・1+(-1).m=0 だから,
①,②は直交する.
(3)(1),(2)より ①②の交点をPとすると ① 1 ②
より,∠APB=90°
よって、円周角と中心角の関係よりPは2点A,
136
Y
以上のことより, ① ② の交点の軌跡は円 (x-1)+(y-1)2=2 から点
(0, 2) を除いたもの.
ポイント 定点を通る直線が直交しているとき,その交点は,
ある円周上にある. その際, 除外点に注意する
atics
tを実数とする. xy 平面上の2直線 l : tx-y=t,
m:x+ty=2t+1 について, 次の問いに答えよ.
(1) tの値にかかわらず,l, mはそれぞれ, 定点 A, B を通る.
A, B の座標を求めよ.
(2)1,mの交点Pの軌跡を求めよ.
よって、(x-1)+(y-1)^=2
また,AB=2√2 より 半径は√2
Bを直径の両端とする円周上にある。この円の中
心は ABの中点で(11)
演習問題 47
(1曲)
0
2x
A/
ここで,①はy軸と一致することはなく、 ②は直線 y=2と一致する
