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基礎問
66 第3章 図形と式
41 円と接線
Q(1) 次の接線の方程式を求めよ.
(ア) (1,2) において,円x2+y2 = 5 に接する
(イ) (1,3) から円 '+y'=5に引いた接線
△ (2) 点 (15) を中心とし, 直線 4.x-3y+1=0 に接する円の方
程式を求めよ.
精講
(1) 次のような公式があります。
円x2+y2=2 上の点 (xo,yo) における接線は
xox+yoy=r²
たいへん便利なように見えますが, この公式を用いるときには「接点の座標」
がわかっていなければなりません. すなわち, (1) の(ア) と(イ)の違いがわかってい
るかどうかがポイントです .
解答
(12) 接点だから, x+2y=5
(イ)(解Ⅰ)
接点を (Z1, y1) とおくと,
mi2+y²=5... ①
このとき, 接線は+yy=5 とおけて
この直線上に点 (1,3) があるので,
1+3y1=5②
① ② より
(5-3y₁)²+y₁²=5
..10y²²-30y+20=0
∴.y=1,2
②より, y=1のとき m=2
i=2 のとき =-1
よって, 接線は2本あり,
∴. (y-1)(y-2)=0
<ポイント
2x+y=5 と x+2y=5
( 解ⅡI) (接点の座標をきいていないので・･････)
(13) を通る x²+y² = 5 の接線はy軸と平行ではないので (注
y-3=m(x-1), すなわち, mx-y-m+3=0 とおける.
この直線が2+y²=5 に接するので
=√5
|-m+3|
√m² +1
... | m-3|=√5(m²+1)
両辺を平方して,5m²+5=m²-6m+9
..
4m²+6m-4=0 .. (2m-1)(m+2)=0
=1/12-2
2'
よって,接線は2本あり,
5
y = -1/2 x +
m=
r=
演習問題 41
2
(2) 半径をrとおくと
|4-15+1|
√42+(-3)2
よって, 求める円の方程式は
(x-1)2+(y-5)2=4
ポイント
と y=-2x+5
注
タテ型 (y軸に平行) 直線の可能性があるとき, 傾きmを用いて
直線を表すことはできません.
-=2
140
40
(1,5)
ⅡI. 点と直線の距離の公式を使う
ⅢII. 判別式を使う
4x-3y+1=0
67
円の接線の求め方
I. 円 (x-a)+(y-b)2=r2 上の点 (x1, yì) におけ
る接線は
(x₁-a)(x-a)+(y₁−b)(y-b)=r²
点 (42) から円r'+y2=10に引いた接線の方程式を求めよ.
