155
重要 例題155 三角形の最大辺と最大角
0000
x>1とする。 三角形の3辺の長さがそれぞれx2-1, 2x+1, x2+x+1であると
この三角形の最大の角の大きさを求めよ。
[類 日本工大]
基本 153.154
指針 三角形の最大の角は、最大の辺に対する角であるから, 3辺の大小を調べる。
このとき,x> 1 を満たす適当な値を代入して, 大小の目安をつけるとよい。
例えば,x=2 とすると
x2-1=3, 2x+1=5,x2+x+1=7
x2+x+1が最大であるという予想がつく。
なお,x2-1, 2x+1, x2+x+1が三角形の3辺の長さとなることを,
241
となるから,
4章
三角形の成立条件 |b-cl<a<b+c で確認することを忘れてはならない。
CHART 文字式の大小 数を代入して大小の目安をつける
『解答
章 8
18
正弦定理と余弦定理
x>1のとき
x2+x+1-(x2-1)=x+2>0
x2+x+1-(2x+1)=x2-x=x(x-1)>0
よって、3辺の長さを x2-1, 2x+1, x2+x+1とする三角形が
存在するための条件は
整理すると
x2+x+1<(x2-1)+(2x+1)
x>1
したがって, x>1のとき三角形が存在する。
また,長さが x2+x+1である辺が最大の辺であるから,この
辺に対する角が最大の内角である。
この角を0とすると, 余弦定理により
x2+x+1が最大という予
想から,次のことを示す。
x²+x+1>x2-1
x²+x+1>2x+1
三角形の成立条件
|b-cl<a<b+cは,
αが最大辺のとき
a<b+c
だけでよい。
COS =
(x-1)+(2x+1)-(x²+x+1)
2(x-1)(2x+1)
x4-2x2+1+4x2+4x+1-(x+x2+1+2x'+2x+2x2)
2(x-1)(2x+1)
-2x3-x2+2x+1
2(x2-1)(2x+1)
2x3+x2-2x-1
x²-1
x²+x+1
2x+1
2(x2-1)(2x+1)
2x3+x²-2x-1
=x2(2x+1)-(2x+1)
=(x-1)(2x+1)
(x-1)(2x+1) 1
==
2(x-1)(2x+1) 2
したがって
0=120°
