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基本例題
50 2次方程式の解の存在範囲 (2)
についての2次方程式xー(a-1)x+α+6=0 が次のような解をもつよ
とも
うな実数αの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1) 2つの解がともに2以上である。
p.71 基本事項 5. 基本49
(2)
MOIT
1つの解は2より大きく、他の解は2より小さい。
の発医薬
CHARTO OLUTION
実数解 α, β と実数の大小
a-k, β-k の符号から考える
(1)
2以上と2を含むから、等号が入ることに注意する。
2018-
az2, B≥2 ⇒ (a-2)+(8-2) ≥0, (a-2)(B-2)≥0
(2) <2<BまたはB<2<a (a−2)(B-2)<0
解答
| inf. 2次関数
TER
x2-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα,βとし, 判別式をD
とすると
f(x)=x²-(a-1)x+a+6
D={−(a−1)}²−4(a+6)=a²−6a−23
のグラフを利用すると
解と係数の関係により
a+β=a-1, aβ=a+6
(1) D≥0,
AN
(1)≧2,β≧2 であるための条件は、次の① ② ③ が同時
に成り立つことである。
(軸の位置) ≧2,
f(2)≥0
D≧0
TE
・①
a-1
(a-2)+(B-2)≧0
20
(a-2)(B-2)≥0
(2)
①から a²-6a-23≥0
DRPD TO****
ゆえに
a≦3-4√23 +4√2 ≦a
a
(4)
DO 2
②から
a+β-4≧0
ゆえに
(a-1)-4≥0
よって
a≧5
......
(5)
(2) f(2)<026
③から
aβ−2(a+β)+4≧0
(p.715 補足 参照)
=560
ゆえに
a+6-2(a-1)+4≥0
よって a≦12 ...... 6(E)S+x=(x)\
④,⑤,⑥の共通範囲を求めて
3+4√2 ≦a≦12
⑤5
(2) α<2<β または β<2<α であるための条件は
3-4√2
1
5 3+4√2 12 a
(a-2)(B-2)<0
◆このとき、D>0は成り
よって α+6-2(a-1)+4<0 これを解いて (a>12
立っている。
(p.704 解説 参照)
(
PRACTICE･･・･ 50 ③
2
xの2次方程式x2-2px+p+2=0 について,次の条件を満たすよう、
の範囲を求めよ。
78
x=
B (S)
x
C
B6
