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基本例題 41 2つの2次方程式の解の判別
kは定数とする。 次の2つの2次方程式
x2-kx+k2-3k=0
①, (k+8)x2-6x+k=0
について,次の条件を満たすkの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1) ①,②のうち、少なくとも一方が虚数解をもつ。
(2) ①, ② のうち, 一方だけが虚数解をもつ。
|指針
CHART 連立不等式 解のまとめは数直線
②については, 2次方程式であるから,x2の係数について, k+8=0に注意。
① ② の判別式をそれぞれ D1, D2 とすると, 求める条件は
(1) D1 <0 または D2<0 → 解を合わせた範囲 (和集合)
(2)(D1 <0 かつD2≧0) または(D1≧0かつD2<0) であるが, 数学Ⅰでも学習したよ
うに, D1 <0, D2<0の一方だけが成り立つ 範囲を求めた方が早い。
チャート式基礎からの数学I+A p.200 参照。
1STAROJ
D² =(−3)² – (k+8)k=−k²—8k+9_8+ (S— sx) =
4
CHA
=-(k+9)(k-1)
(1) 求める条件は, kキー8のもとで
D1 <0 またはD2<0
②の2次の係数は0でないから k+8≠0 すなわちんキー 8 普通, 2次方程式
解答 このとき、①,②の判別式をそれぞれD1,D2 とすると
ax2+bx+c=0 とい
D=(-k)²-4(k²-3k)=-3k²+12k=-3k(k-4)
D1 <0から(-4)>0
キー8であるから
ゆえに<0, 4<h
k<-8, -8<k<0, 4<k... 3
D2 < 0 から (k+9)(k-1)>0
よって
ん<-9,1<h
(4)
求めるんの値の範囲は、③と④の範囲を合わ
せて
k<-8, -8<k<0, 1<k
(2) ①, ② の一方だけが虚数解をもつための条件
は、D1<0, D2<0 の一方だけが成り立つことで
ある｡
ゆえに, ③, ④ の一方だけが成り立つんの範囲
を求めて -9≦k <-8, -8<k<0, 1<k≦4
00000
-9-8
-9-8
基本40
うときは,特に断りが
ない限り, 2次の係数
αは0でないと考え
ある
Jel
0 1 4
01
k
4 k
重
&
BA
