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■重要 例題 17 ベクトルの大きさの条件と絶対不等式
000
kは実数の定数とする。 |a|=2, ||=3,|a-6|=√7 とするとき、
すべてに対して成り立つような
指針はとして扱うの考え方が基本となる。
*, |ka+tb|>√3 l \ka+tb>(√3)²..
まずは一部= (7) を考えることで, a の値を求めておく。
①と同値である。
① を変形して整理すると pt2+gt+r>0(p>0)の形になるから,数学Ⅰで学習
次のことを利用して解決する。
2次不等式 at + bt+c > 0 が常に成り立つ
D=ぴー4ac とすると
CHART はとして扱う
(*)ための必要十分条件は
a>0 かつ D<0
基本 例題 18 内積と
(1)
せ。
OAB において
(2) (1) を利用して3点
の面積Sをα1, a2,
指針 (1) △OAB の面
sino, a b
(2) OA=(a1, G
(1) ∠AOB=0(
から
la-61²=(√7)²
解答よって
(a-b)•(a-b)=7
|解答
C
前ページの基本例
また, sin0 >
(1)と同じ要領
S=
ゆえに
la-2a 6+16=7
い
|a|=2, |6|=3であるから
4-2ã・6+9=7
したがって ã•b=3
また, kat√3はka +t>3
①と同値でA>0,B>0のとき
12
ある。
A>B>A>B
(2) OA=a,
① を変形すると
すなわち
k2la+2kta・+2部>3
9t2+6kt+4k2-3> 0
......
件は,tの2次方程式 9t2+6kt+4k2-3=0の判別式をD
とすると,2の係数が正であるから D<0
ここで
D=(3k)-9(4k2-3)
=-27k2+27=-27(k-1)
②がすべての実数tについて成り立つための必要十分条
ての実数に対して
不等式を 絶対不等式
う。
y=at+bt+c/
参考
指針の(*)のように
=-27(k+1)(k-1)
D<0 から
(k+1)(k-1)>0
よって
k<-1, 1<k
(1) から, △
表され
(a•b)²=(
ab
ゆえに
+
0
POINT
AOAB
a>0,
下に凸 軸と共
有点なし
D<O
③ 17 である。
ベクトルb=a+60=a-6 は, Dl=4, 1=2 を満たし, ことのなす角ば
(1)2つのベクトルの大きさ 7,16,および内積を求めよ。
(2)は実数の定数とする。すべての実
うなるの
成り立つ
検討
頂点がい
頂点がい
が原点に
練習
次の3点
② 18 (1) A(C
