する。
とき ①が成り立つ, すなわち
2k > k²+1
②
と仮定する。 n=k+1のとき, ①の両辺の差を考えると,② から
したわ
2k+1_{(k+1)2+1}=2.2 - (k2+2k+2)
0
=k2-2k
の確率分布は>2(k2+1)-(k+2k+2)
= k(k-2)
5であるから
k(k-2)>0
es
すなわち
2k+1>(k+1)²+1
n≧のときの数学的
帰納法
[1] n=1のときを示す。
[2] k1であるkについ
て, n=kのときを仮
し, n=k+1のとき
示す。
←25のとき
kk-2)≥5-3>0
S+O
は整数)
n=1
25 のとき
したがって
2,3,4のとき
「よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1],[2] から,
以上から
以上のすべての自然数nについて ① は成り立つ。
2"=n2+1
n≥5
2"<n2+1
のとき 122">n²+1
-0
33
すべての自然数nについて,次の事柄を証明すればよい。
である」
......
①
x+y=p,xy=g(p,q は整数の定数)のとき,x+y” は整数
・X)=6x
[1] n=1のとき
x+y=p
n=2のとき
x2+y2=(x+y)^2-2xy
++
X=PX-11-
= p²-2q PIX=11-CAY
とか2-2g は整数であるから, n=1,2のとき,①は成り立つ。
[2]n=k, k+1のとき①が成り立つと仮定する。
n=k+2のときを考えると
よっ
gk+2+y+2=(x+1+y+1)(x+y)−xy(x+y)
x-(X=(x*+1+y+1) p− q(x*+ y*)
仮定より xk+1 + yk+1, xk + y は整数であるから, x4 +2 + yk+2も整
数である。
よって, n=k+2のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて x" + y” は整数である。
+3×
