重要 例題 238 逆関数と積分の等式
(1) f(x)=
のとき, y=f(x) の逆関数 y=g(x) を求めよ。
(1) の f(x), g(x) に対し,次の等式が成り立つことを示せ。
Sof(x)dx+$100g(x)dx=bf(b) -af(a)
解答
指針 (1) 関数 y=f(x) の逆関数を求めるには, y=f(x) をxについて解き, xとyを交換する。
(p.166 基本例題 95 参照。)
(2)(1) の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)=x=g(y)
を利用。 すなわちy=g(x) ⇔ x=f(y) に注目して, 置換積分法により, 左辺の第2
(1) y=
ex
ex+1
ex
ex+1
①から
②から
f(b)
項Sa g(x)dx を変形することを考える。
f(a)
①の値域は
(ex+1)y=ex
ex==
0<y<1
ゆえに
よって
(1-y)ex=y
x=log
V
1-y
1-y
求める逆関数は,xとyを入れ替えて g(x)=log
cf (b)
(2)=g(x)dxとする。
f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) より x=f(y)
ゆえに dx=f'(y)dy
また
g(f(a))=a, g(ƒ(b))=b x f(a)→f(b)
xとyの対応は右のようになる。
y
a → b
よって
ゆえに
(3)]-SS(v)dy
1=Sys(y)dy=[ys
= bf (b) -af (a) -Sof(x)dx
Sof(x)dx+Sg(x)dx=bf (b)-af (a)
[東北大]
p.390 基本事項 ①.基本 95
[参考 (2) の結果は, f(x) =
ex
ex+1
f(x) は単調増加または単調減少),微分可能であれば成り立つ。
まず, 値域を調べておく。
<xについて解く。
ex=A⇔ x=logA
[定義域は 0<x<1
YA
1
f(b)
f(a)
0
1
2
a
T
S
b X
s=Sof(x)dx,
*f(b)
T-Sha g(x)dx
=
f(a)
(2) の等式の左辺の積分は,
上の図のように表される。
(0<a<bのとき)
でなくても,一般に,関数f(x) の逆関数が存在して(すなわち
