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144 第6章 微分法と積分法
基礎問
90 共通接線
アイは一致するので, 3d²=2a+p, -20°=q-
よって, カ=3a-2a, q= -20°+α²
145
5/5
3.0
2つの曲線 C: y=x, D:y=x2+pr+g がある.
(1) C上の点P(a,d)における接線を求めよ
(2) 曲線DはPを通り,DのPにおける接線はと一致するこ
のとき,,g をαで表せ. =>
'+(3)(2)のとき,Dがx軸に接するようなαの値を求めよ.
ばれます
(2)2つの曲線 C,Dが共通の接線をもっているということです
が,共通接線には次の2つの形があります。
精講
(I型)
y=f(x) y=g(x)
P
a
(Ⅱ型)
3y = f(x) y=g(x)
Q
適です。
P
違いは、 接点が一致しているか,一致していないかで, この問題は接点がP
で一致しているので(I型)になります.
どちらの型も、接線をそれぞれ求めて傾きとy切片がともに一致すると考え
れば答をだせますが, (I型) についてはポイントの公式を覚えておいた方が
よいでしょう. 解答は、この公式を知らないという前提で作ってあります.
解答
(1) y=xより,y'=3だから,P(a, α3) における接線は,
y-a3-3a2(x-a)
:.l:y=3ax-2a3.......ア C
0186
5 : y = (x + £ ²)² + q − 2²
だから, 曲線
(3) D:y=
4
Dがx軸に接するとき,頂点のy座標は 0
D²
=0
q-
4
∴.4g-p20
よって, 4-2a3+α²)-(3-2)=0
4a²(−2a+1)-α(3a-2)2=0
a^{-8a+4-(9α²-12a+4)}= 0
a³(9a-4)=0
:.a=0,
459
注 α=0 が答の1つになること
は,図をかけばx軸が共通接線
であることから予想がつきます.
(2)はポイントを使うと次のようになります。
f(x)=x, g(x)=x+px+q とおくと
f'(x)=3.2g'(x)=2x+p
[a=a+pa+g
13a2=2a+p
ポイント
よって,
x²+px+q=0 の
(判別式) = 0 でもよい
展開しないで共通因数
でくくる
YL
p=3a2-2a
q=-2a³+a²
10.
2つの曲線 y=f(x) と y=g(x) が点(t, f(t)) を
共有し,その点における接線が一致する
f(t)=g(t) かつ f'(t)=g'(t)
y-f(t)
=f(t)(x-t)
(2)PはD上にあるので,a' + pa+q=α ... ①
また,y=x'+px+g より y'=2x+p だから,
Pにおける接線は,y-d= (2a+p)(x-a)
y=(2a+p)x+a³-2a²-pa
y=(2a+p)x+q-a² ......①(£)
演習問題 90
第6章
関数 f(x)=x2+2とg(x)=-x+ar のグラフが点Pを共有
し、点Pにおける接線が一致するこのときαの値とPの座標を
求めよ.
