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/p.174 基本事項 ■ 2 重要 113 114
基本例題 110 三角形
2点A(6,0), B(3,3)と円x2+y^2=9上を動く点Qを3つの頂点とする三角形
の重心Pの軌跡を求めよ。
指針 動点Qが円周上を動くにつれて, 重心Pが動く。 このようなものを連動形 (Q
以外の文字で表す。
動してPが動く)ということにする。 連動形の問題では,次の手順で考えるとよい。
①1 軌跡上の動点P(x, y) に対し、 他の動点Qの座標は,x,
例えば, s, tを使い, Q(s,t) とする。
[②] Qに関する条件を s, tを用いて表す。
③3 2点PQの関係から,s,tをx,yで表す。
④ ② ③ の式からst を消去して,x,yの関係式を導く。
なお, 上で用いたs, tを本書ではつなぎの文字とよぶことにする。
CHART 連動形の軌跡 つなぎの文字を消去して、xの関係式を導く
P(x,y), Q(s,t) とする。
解答 点Qは円x2+y2 = 9上を動く
から
s2+12=9
点Pは△ABQ の重心である
から
x=
6+3+s
3
y=
......
0+3+t
3
(2)
s=3x-9, t=3y-3
よって, 求める軌跡は
(s, t)
Q₁
******
-3
3
②から
①に代入して
したがって
ゆえに, 点Pは円 ③上にある。
逆に, 円 ③上の任意の点は,条件を満たす。
練習 放物線 y=x2.
10 線 ① 上を動くとき、次の点Q
(3, 1)
A
0p(x,y)/3 6 X
-3
(3x-9)²+(3y-3)²=9
(x-3)^+(y-1)'=1
中心が点 (3,1), 半径が10円 (*)
B(3, 3)
注意 上の例題の直線AB:x+y-6=0と円x²+y²=9は共有点
をもたないから、△ABQ を常に作ることができる。 しかし、直
線AB と円が共有点をもつときは,その共有点をRとすると,
図形 ABR は三角形ではなくなるから, そのときの点Pを軌跡
から除外しなければならない。
(3)
点Qの条件。
R の軌跡を求めよ。
点Pの条件。
P Q の関係から,s,t
をx, yで表す。 なお,
Aは
UP
{3(x-3)}^+{3(y-1)}^=9
この両辺を9で割って
③ を導く。
(*) 円(x-3)+(y-1)'=1
でもよい。
直線AB Ay
6
3
13
・①とA(1,2), B(-1,-2), C (4,-1) がある。 点Pが放物
6
C
