要 例題 95
放物線と円の共有点・接点
放物線y=
x+αと円x+y=16 について,次のものを求めよ。
この放物線と円が接するときの定数αの値
(2) 4個の共有点をもつような定数αの値の範囲
CHART & SOLUTION
放物線と円
共有点 実数解 接点⇔重解
基本88
1点で
この問題では,xを消去して, yの2次方程式
4(y-a)+y2=16 の実数解, 重解を考える。
接する
なお、放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線をもつと
この問題の場合, 右の図から, 2点で接する場合と1点で接す
る場合がある。
2点で接する
解答
(1) y=-x+αから=4(y-a)
①
ただし,x220であるから
[2]
a=4
yza
[2]
① を x+y=16 に代入して
4
a=-4/
f a4 のとき ③は
2+4y-32=0
すなわち (y-4) (y+8)=0
から, y=4 (適), -8 (不適)
で重解をもたない。
4(y-a)+y2=16
よって y'+4y-4α-16=0 ... ③
[1] 放物線と円が2点で接する場合
2次方程式 ③は重解をもつ。
③の判別式をDとすると
=22-(-4a-16)=4a+20
4
D=0 から a=-5
**
しかし、
-4
の
x2+y2=16
連立方程式で,yを消去す
ると
~[1]
=16
a=-5
整理して
x(x2+48)=0
この4次方程式は, 2重解
このとき, ③の重解は y=-2 であるから② に適する。 x=0 をもつから, 点 ( 0, 4)
[2] 放物線と円が1点で接する場合
図から,点, 4), (0, -4) で接する場合で α=±4
[1] [2] から, 求めるαの値は a=±4,-5
(2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,上の図から,放
物線の頂点が,点 (0, -5) 点(0, -4) を結ぶ線分上 (端
点を除く)にあるときである。
よって、 求める定数αの値の範囲は -5<a<-4
RACTICE 950
で接していることがわかる。
同様に, α-4のときx
についての4次方程式を導
くと
-16x2=0
= 0
すなわち(16)
(2重解),±4
から,x=0
をもつから, 点 (0, -4) で
接していることがわかる。
