中点の軌跡
例題 111
点(3,0)を通る直線と円(x-1)?+y=1 が異なる2点A, Bで交わる
とき,線分 AB の中点Mの軌跡を求めよ。
(x-1)+y°=1 と y=m(x-3) からyを消去してできるxの2次方程式について
解と係数の関係を利用する。
円と直線が異なる2点で交わるという条件も忘れずに.
または,円の中心から直線 AB までの距離と円の半径の関係を利用してもよい。
考え方 点(3, 0)を通る直線は,y=m(x-3) とおける。
解答1 直線 x==3 は円と交わらないので, 点(3, 0)を通る直
消潔
定点(3, 0)を通る
x=3 以外の直線は、
ソ=m(x-3)
線を y=m(x-3) とおく.
x(8+mの
こさすsこれを円の方程式(x-1)?+y°=1 に代入して,
0(x-1)?+{m(x-3)}*=1 y=m(x-3)
m2+1)x?-2(3m°+1)x+9m'=0 0.0全 い
円と直線が異なる2点で交わるための条件は,①の判
別式をDとすると, D>0 である.
16.9. こ
十
D
す30 ケいい
1 。
3
4
したがって, -3m'+1>0 より,
0Sm°<-.22より、後でxの値の
過半
&ここで,2点A, Bのx座標を α, βとすると、①にお
範囲を決定する。
2(3m+1)
m?+1
いて解と係数の関係より,
a+8=
ax°+bx+c=0
0-日十
(aキ0)の2つの解を
Q, Bとすると,のと
aB-
0=日線分 AB の中点を M(X, Y)とすると、
X=Q+B_3m°+1
m°+1
3
0-8+ー
0=(1-)
b.
α+B=-
a
開 料本 2
Y=m(X-3) …④
3より,(m'+1)X=3m"+1
(X-3)m?+X-1=0 ………6
(A, B は直線
ソ=m(x-3)上の点
より,その中点Mもこ
の直線上にある.
図より,Xキ3 なので, ④より,
Y
m=
6を6に仕11
X-3
て
