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基本 例題 57
交点の位置ベクトル (空間) 科共
00000
1:2 に内分する点を L, 線分BCの中点をMとする。 線分AM と線分 CL
四面体 OABCにおいて, OA=d, OB=1, OC とする。 線分ABを
A
の交点をPとするとき,OP をâ, L, を用いて表せ。
p.567 基本事項 4, p.585 基本事項 1 基本 29 基本 59
CHART & SOLUTION
MOITUJO TRA
交点の位置ベクトル 2通りに表し 係数比較
......
平面の場合 (基本例題29) と同様に, AP:PM=s: (1-s), CP: PL=t: (1-t) として,
点Pを線分AMにおける内分点, 線分 CL における内分点の2通りにとらえ, OP2
りに表す。
解答
20A+OB
2 →
1
OL=
+
1+2
OM=
OB+OC
2
=
-6+
2
2
A
11/16 + 1/100
AP:PM=s:(1-s) とすると
OP= (1-s) OA+sOM
= (1-s)ā+s (6+1)
2
=(1-s)a+-sb+
1
①
2
CP:PL=t: (1 - t) とすると
DA
ると
別解 ABMと直線LC
にメネラウスの定理を用い
AL BC MP
LB CM PA=1
12.MP
よって
2 1 PA
=1
1-s】
M
1-12-
B
ゆえに, MP=PA となり,
Pは線分AMの中点である。
よって
55
OP=OA+OM
2
b+c
2
2
OP=(1-1)OC+tOĽ=(1-t)c+t(½³à+16)
_2
ta+b+(1-1)c
②
①,②から (1-sa/12/6+/12/sc=1/2/31+1/3216+(1-1)
SC=
4点 0, A, B, Cは同じ平面上にないから
1-8/1/31.12/28=1/11/28=1-1
S
1-s=1/31と1/28/1/31 を連立して解くと
1
3
S=
2'
4
これは, 1/12s=1-t を満たす。ゆえにOP= 12/21/12/26
+ +
=/1/21+1/6+/6
同じ平面上にない4点0
A(a),B(b), C()に対
し、次のことが成り立つ。
sa+to+uc
=s'a+t'b+u'c
s=8', t=t',
u=u' (s, t, u,s,
t', u' は実数)
