例題123 はさみうちの原理の利用・
次の極限値を求めよ。 ただし, [x]はxを超えない最大の整数とする。
✓
[x]
1
x
(1) limxcos
x+0
(解答
.......
Action 式変形できない関数の極限は,不等式をつくりはさみうちの原理を用いよ
解法の手順･･
･1 (1) は極限を求める関数の絶対値を考える。
2極限を求める関数に関する不等式をつくる｡
3 | はさみうちの原理を適用する。
(1) 0≦cos.
≦1より
≤cos ≤1 kh 0≦xcos
XC
ここで
mxcos
ing|x0=0
lim xcos
x→0
よって
2008/1/11
x
ここで, ling|x|= 0 であるから, はさみうちの原理より
≤ |x|
1
limxcos ==0
X
(2) lim
x
x →∞ x
したがって
(2) nを整数として,n≦x<n+1のとき [x] = n
よって, [x]≦x<[x] +1 より
coss
x
x-1<[x]≦x
x→∞のとき,x>0としてよいから,各辺をxで割って
x-1
[x]*
≤1
x
したがって, はさみうちの原理より
≦|x|
x-1
lim *¹ = lim(1-¹)=1
x
xα
[x]
lim
x →∞ XC
I+
= 1
((S) S
→例題90
絶対値をとって不等式
をつくる。 絶対値をとら
1
ずに -1≦cos —≦1を
x
用いてもよいが,x → 0
より
(ア) x>0 のとき
-x≤xcos-
=(1+x)2011x
(イ) x<0 のとき
≦x
1
x≦xCOS≦-x
と場合分けして考えなけ
ればいけない。
Point 関数の極限の大小関係
(1)q の近くのすべてのxについて f(x) ≧ g(x)≦h(x)が成り立ち、かつ
limf(x)=limh(x)=αならば limg(x)=
=α (はさみうちの原理)
x-a
xα
(このことは xや
n
x n+1
II
[x] [x]+1
xは正の無限大に向かっ
ていくから,x>0とし
て考えてよい。
