基本 例題 31
an+1=pan+(nの1次型の漸化式
00000
次の条件によって定められる数列{az} の一般項を求めよ。
a1=3, an+1=2an-n
CHART & SOLUTION
漸化式 an+1=pan+(nの1次式)(カキ1)
1 階差数列の利用
[2] ani-f(n+1)=plan-f(n)} と変形
②の変形については右ページのズーム UP を参照。
下の解答は①の方針による解法で,別解は②の方針による解法である。
解答
an+2=2an+1-(n+1),
an+1=2an-n
an+2-αn+1=2(an+1-an)-1
基本 29 30
与えられた漸化式で、
をn+1とおく。
辺々引いて
また
bn=an+1-an とおくと bn+1=2bn-1
b=az-α= (2·3-1)-3=2
......
・①
①から
bn+1-1=2(6-1)
α=2α-1 を解くと
更に
b-1=1
α=1
ゆえに、数列{bm-1}は初項1,公比2の等比数列となり
bn-1=1・2n-1
すなわち
bn=2n-1+1
よって≧2のとき
n-1
an=1+2 (2-1+1)=3+-
k=1
=2"-1+n+1
a = 3 であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。
したがって an=2"-1+n+1
1-8
if b=21+1を求め
an+1=2an-n
lan+1-an=27-1+1
から an+1を消去して
an=2-1+n+1
と求めてもよい。
◆ n=1 とすると
2°+1+1=3
した後は
2"-1-1
+(n-1)
2-1
別解
an+1=2an-n を変形すると
an+1-(n+2)=2{an-(n+1)}
また
a-(1+1)=3-2=1
ゆえに, 数列{an- (n+1)) は, 初項1 公比2の等比数列
となり
an-(n+1)=1•2η-1
したがって a=2"-'+n+1
この変形については
ページのズームUPを
参照。
