重要 126 領域と分数式の最大･最小
ひが2つの不等式x-2y+1≦0,x2-6x+2y+3≦0 を満たすとき,
最大値と最小値,およびそのときのx,yの値を求めよ。
連立不等式の表す領域Aを図示し,
y-2
x+1
つようなんの値の範囲を調べる。 この分母を払ったy-2=k(x+1) は, 点(-1, 2)
を通り、傾きがんの直線を表すから, 傾きんのとりうる値の範囲を考えればよい。
解答
CHART 分数式 -6
x-a
の最大最小
x-2y+1=0
とする。 連立方程式 ①, ② を解くと
(x, y)=(1, 1), (4, 5)
-=kとおいたグラフが領域A
①, x2-6x+2y+3=0
y-b
x-a
y-2=kとおくと y-2=k(x+1)
x+1
ゆえに、連立不等式 x-2y+1≦0,x2-6x+2y+3≦0 の表
す領域 A は図の斜線部分である。 ただし,境界線を含む。
=kとおき, 直線として扱う
すなわち
y=kx+k+2
③は,点P(-1,2)を通り, 傾きがんの直線を表す。
図から直線 ③ が放物線 ② に第1象限で接するときk
この値は最大となる。
② ③ からyを消去して整理すると
x2+2(k-3)x+2k+7=0
このxの2次方程式の判別式をDとすると
-=(k-3)²-1 (2k+7)=k²—8k+2
直線③が放物線 ② に接するための条件はD=0であるか
ら, k²-8k+2=0 より
k=4±√14
P
第1象限で接するときのんの値は
k=4-√14
このとき、 接点の座標は
(√14-1, 4√14-12)
次に,図から、直線 ③ が点 (1, 1) を通るとき, kの値は最
小となる。このとき
よって
2
1
y-2
x+1
と共有点をも
1
基本122
――1は分タキ0より
3-2
k=1---2/2 = -21/2/2
1+1
x=√14-1,y=4√14-12 のとき最大値4-√14;
x=1, y=1のとき最小値･
3
(1)
<k(x+1)-(y-2)=0は,
x=-1, y=2のとき
についての恒等式になる。
→kの値に関わらず定
点(-1, 2) を通る。
201
k=4+√14 のときは,
第3象限で接する接線と
なる。
k=y-2
ダスでは
4/477 に代入。
x+1
3章
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