nを1以上の整数とするとき, 次の問いに答えよ。
(1)Vn が有理数ならば,/n は整数であることを示せ。
(2) Vn と(n+Iがともに有理数であるようなnは存在しないことを示せ。
(3) Vn+1-/n は無理数であることを示せ。
EX
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【富山大)
(1) Vn が有理数であるとすると
そ/n>0であるから,
かとqは「整数」ではな
く「正の整数」 としてい
Vn=2(b, qは互いに素である正の整数)…… ①
9
と表される。
このとき, q=1であることを示す。
のから,Vnq=かであり, この両辺を2乗すると
る。
ng°=が…………… ②
かとqは互いに素であるから, がとq?も互いに素である。0
のから,がとqの最大公約数はg?である。
よって,かとq?が互いに素であることから
とする。そnq° とq° の最大公約
0=+x 数はg"である。
g°=1 すなわち q=1