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1から順に自然数を並べて,下のように1個,2個,4個,
基本例題9/ 群数列の基本
となるよ
うに群に分ける。ただし,第n群が含む数の個数は 2"-1 個である。
1|2,3|4,5, 6,7|8,
1) 第5群の初めの数と終わりの数を求めよ。
(2) 第2群に含まれる数の総和を求めよ。
【類京都産大)
重要98
CHART O
OLUTION
群数列の基本
第々群の最初の項や項数
に注目…
例題のように、群に分けられた数列
を群数列という。
(1) 第4群の末項までの項の総数を Nとすると, 第5群の初めの数は, 自然数の
列の第(N+1)項である。また,自然数の列の第1項の数は1となる。
(2) 連続する自然数の和であるから公差1の等差数列の和で,あとは初項と項
数がわかればよい。初項は(1)と同様にして求まる。項数は問題文から,すぐ
もとの数列
に頃を書く
区切りを入れる
と分け方の規則
がみえてくる
区切りをとると
もとの数列の規
則がみえてくる
3章
群数列
12
1項は
3-2
っすいように
上下にそられ
にわかる。
解答)
(1) 第4群の末項までの項の総数は 1+2+2°+2°=15
0ぶである
スに注意。
数別にはる
1+2+22+2°+2*=31
第5群の末項までの項の総数は
よって,第5群の初めの数は 16, 終わりの数は 31
(2) n22 のとき, 第(n-1) 群の末項までの項の総数は
二比3,
n-1
2"-1-1
-=2"-1-1
2-1
*22*-1は,初項1,公比
n-1
22*-1=
k=1
ゆえに,第n群の初めの数は (27-1-1)+1 すなわち2"-1
これは n=1 のときにも成り立つ。
よって,第n群に含まれる数の総和は,初項が2"-1公差が
1. 項数が 2"-1 の等差数列の和となるから,求める和は
2の等比数列の初項か
ら第(n-1)項までの和。
別解第n群の終わりの数
は2"-1であるから,和は
k=1
-2-1(2*-1+(2"ー1)}
2
27-1(2-27-1+(2"-1 _1)·1}=2"2(3-2"-1-1)詳の =2"-(3-2"-!-1)()
2
1
種々の数列
