不等式がすべての実数に対して成り立つ条件 (絶対不等式)
基本例題 109
P.159 基本事項6 演習125
1 ② すべての実数xに対して、2次不等式x+(k+3)xk>が成り立つような
定数kの値の範囲を求めよ。
(2) 任意の実数xに対して、 不等式 ax²-2√3x+a+2≦0が成り立つような定
数αの値の範囲を求めよ。
指針 2次式の定符号 a≠0. D=b-4ac とする。 …..
#ax²+bx+c>0⇒a>0, D<0
常にax²+bx+c<0
a<0, D<0
(1)x2の係数は1 (正) であるから, D<0が条件。
(2) 単に「不等式」とあるから, q=0(2次不等式で
ない)の場合とα≠ 0 の場合に分ける。
#kax²+bx+c²0⇒a>0, D≤0
常に ax²+bx+c≦0⇔a<0. D≦0
2
解答
(1) ²の係数が1で正であるから、常に不等式が成り立「すべての実数x」または「任意の実
ための必要十分条件は、 係数について
数x」 に対して不等式が成り立つと
(k+3)²-4-1-(-k) <0
よって (k+9)(k+1)<0
ゆえに k+10k +9 < 0
ゆえに-9<k<-1
その不等式の解がすべての実
数であるということ｡
(2) a=0のとき, 不等式は-2√3x+2≦0 となり、 例え
ばx=0のとき成り立たない。
a=0のとき, ax²-2√3x+a+2=0の判別式をDとす
ると、常に不等式が成り立つための必要十分条件は
a < 0 かつ D/4=(-√3)²-α(a+2)≦0
a< 0 かつ ²+2a-3≧0
(a+3)(a-1)≥0
すなわち
²+2a-3≧0から
よって
a-3, 1a
α<0 との共通範囲を求めて a≤-3
[a>0, D<0]
[a<0, D<0]
(1) の D<0は、下に凸の放物線が常
にx軸より上側にある条件と同じ。
-2√3x+2≦0の解はx≧
x² = 7/333
グラフがx軸に接する. またはx
軸より下側にある条件と同じであ
るから、40ではなく10と
D
する。
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2章
13
2次不等式
