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基本 例題 84 共線条件、共点条件
(1) 3点A(-2,3), B(1, 2), C(3a+4, -2a+2) が一直線上にあるとき,定数
αの値を求めよ。
(2) 3直線4x+3y-24=0...... ①, x-2y+5=0...... ②
ax+y+2=0
解答
......
指針 (1) 異なる3点が一直線上にある (共線)
⇔2点を通る直線上に第3の点がある
点Cが直線AB上にあると考える。よって,まず,
直線AB の方程式を求める。
(2) 異なる3直線が1点で交わる (共点)
⇔2直線の交点を第3の直線が通る
2直線①,②の交点の座標を求め,これを③に代入する。
y-3=
③が1点で交わるとき, 定数αの値を求めよ。
(1) 2点A,Bを通る直線の方程式は
2-3
-{x-(-2)}
1-(-2)
すなわち
x+3y-7=0
直線AB上に点Cがあるための
条件は
3a+4+3(-2a+2)-7=0
-3a+3=0
a=1
A
B
2-3
-2a-2-3
1-(-2) 3a+4-(-2)
ゆえに 3a+6=3(2a+1)
よって
a=1
(2) ①, ② を連立して解くと
2直線①,②の交点の座標は (3,4)
点 (34) が直線 ③ 上にあるための条件は
a·3+4+2=0
よって
直線AB上にC
1
3
C
ゆえに
よって
別解 -2=3a+4 すなわち α=-2のとき, 直線AC の方 ABの傾き = AC の傾き
程式は,x=-2となる。
点Bは直線x=-2上にないから, αキー2である。
αキー2として,3点A,B,Cが一直線上にあるとき
直線AB の傾きと直線AC の傾きは等しいから
を利用する解法。 ただし,
この考え方はx軸に垂
直な直線には通用しない
から,その吟味が必要。
なお、似た考え方をベク
トル (数学C)で学ぶ。
すなわち
これはαキー2を満たす。
x=3,y=4
a=-2
/ 基本 78 重要 85
2a+1
3a+6
< 「BC上に A がある」 ま
たは 「AC上にBがあ
る」 でもよいが, 計算が
らくになる場合を選ぶ。
<交点の座標を求める2直
線は,係数に文字を含ま
ない ① ② を使用する。
練習 (1) 異なる3点 (1,1), (3,4), (α, α² ) が一直線上にあるとき,定数aの値を求
② 84
めよ。
(2) 3直線 5x-2y-3=0, 3x+4y+19= 0, ax-ay+12=0(a=0) が
点で交わ
