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辺三角
るとき、
基本72
た後に
か
角
74 座標を利用した証明 (1)
AB'+BC'+CA'=3(GA²+GB²+GC2) が成り立つことを証明せよ。
△ABCの重心をG とする。 このとき,等式
△ABCにおいて, 辺BC を 1:2に内分する点をDとする。 このとき,等
基本73 基本 87
(2)
|式2AB + AC=3AD' +6BD' が成り立つことを証明せよ。
座標を利用すると、図形の性質が簡単に証明できる場合がある。そのとき
座標軸をどこにとるか､
与えられた図形を座標を用いてどう表すか
がポイントになる。 そこで後の計算がらくになるようにするため,問題の点がなるべ
く多く座標軸上にくるように
- 0 が多くなるようにとる。
(1) は A (3a,3b),B(-c, 0),C(c, 0) とすると, 重心の性質からG(a,b)
(2) l A(a, b), B(-c, 0), C(2c, 0)
CHART 座標の工夫 10 を多く
(1) 直線BC をx軸に、辺BCの垂直二等分線をy軸にと指針
I
ると,線分 BCの中点は原点0になる。 A (3a, 3b),
B(-c, 0), C(c, 0) とすると,Gは重心であるから
G(α, b) と表される。
よって
17-06-1₁
(2)
AB2+BC2 + CA2
=3(6a²+66²+2c2)
GA2+ GB2+ GC2
( (1−)·E+D·S—
BCであり､同して
=(-c-3a)² +96² +4c²+(3a-c)² +96² MO0 (1)
①
2② 対称に点をとる
= (3a-a)²+(3b-b)²+(-c-a)²+b²+(c¬a)²+b²
=6a²+662+2c2&L ...... ②
( (S − ) + (1 − ) + þ
① ② から
AB2 + BC2 + CA²=3(GA²+GB2+GC2)
(2) 直線BC をx軸に、点Dを通り直線BCに垂直な直
線を軸にとると、点Dは原点になり, A(a,b),
B(-c, 0),C(2c, 0) と表すことができる。
よって
2AB2 + AC2
=2{(-c-a)+(-b)"}+(2c-a)^²+(-b)2
=2(c²+2ca+a²+b²)+4c²—4ca+a²+b²
=3a²+362+6c2
①
3AD2+6BD2=3(a²+62 ) +6c2
2AB2+ AC2=3AD2+6BD2
2012 D
△ABCにおいて
0 が多くなるように座標
軸を設定するだけでなく,
A (3a, 36) とすること
で,重心Gの座標を分
数を使わずに表せる。
ya
B
(-C,0)
x-(01-)
(2)
の方針。
0
YA
20 DA
A(3a, 3b)
<G(a,b)
#
①②から
LISTES A JUCH (2
A.J.
習 (1) 長方形ABCD と同じ平面上の任意の点をPとする。 このとき, 等式
74
A(a, b)
B/12- C
(-c, 0) OD (2c, 0) X
123
(c, 0) x
PA'+PC2=PB' + PD' が成り立つことを証明せよ。 (--)()
辺BCを1:3に内分する点をDとする。 このとき, 等式
p.127 EX 50
3章
3
2直線上の点、平面上の点
(-2)を
+ 49=
0=25
49:25
CA
つい
-2)²
2
91²
afte
4
