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RE 08 0000
基本例題 1513倍角の公式の利用
2
半径1の円に内接する正五角形ABCDEの1辺の長さをaとし,0.
020005
(1) 等式 sin 30+ sin20 = 0 が成り立つことを証明せよ。
本
(2) cose の値を求めよ。
(4) 線分 AC の長さを求めよ。 - 山形
解答
tat-053p.233
指針▷ (1) 30+20=2πであることに着目。なお, 0 を度数法で表すと 72°である。
(2)
(1) は (2) のヒント (1) の等式を2倍角・3倍角の公式を用いて変形すると
cos 0 の2次方程式を導くことができる。 0<cos0 <1に注意して, その方程式を解く
(3),(4) 余弦定理を利用する。 (4) では, (2) の方程式も利用するとよい。
(1) 01/23から50-2
56=2π
よって
30=2π-20nia50=30+20
sin30=sin (2π-20)=-sin20 =0 nie-0200
sin30+ sin 20=0
このとき
したがって
(2) (1) の等式から
sin00であるから, 両辺を sin0で割って
3-4sin20+2cos0=0
が成り (3)αの値を求めよ。
ゆえに
整理して 4cos20+2cos0-1=0
3-4(1-cos20)+2cos0=0
3sin 0-4sin0+2sin0cos0=0
0 < cos 0 <1であるから
(3) 円の中心を0とすると, △OAB において, 余弦定理により
AB2 = OA²+ OB²-20A・OB cos 0
cos0=
AC > 0 であるから
0.
=1²+1²—2·1·1.−1+√5 _ 5-√5
--5-√5
2
4
AC=
….....
−1+√5
4
a>0であるから
a=AB=
(4) △OAC において, 余弦定理により
AC2=OA²+OC2-20A・OC cos 20
= 1²+1²-2·1·1·cos 20=2-2(2 cos² 0-1)
5-√5
2
=4-4cos20=4-(1-2cos0)=3+2cose
- (2) の (*) から。
5+√5
2
-1+√5
-√3+2.-1
3+2･･
4
FOOD
(3)
3倍角の公式
sin 30=3sin 0-4sin'
忘れたら 30=20+0 とし
て, 加法定理と2倍角の
式から導く。
a
B
B
C
1
A
1
5+²
Mile
=1
基本事項
1
068
D
D
E
[Y
