)
解答 (1)
3 [2019 鳥取大]
xy平面上において, 極方程式 r=
する。
(1) 曲線Cを直交座標に関する方程式で表せ。
(2) 曲線Cで囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。
(3) 曲線で囲まれた部分をy軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。
)組(
(x-2)2
4
(1) より,y'=
) 番 名前 (
8
-+y2=1 (2) π
4cos 0
|(1) ==
より (4-3cos20)=4cos0
4-3cos20
両辺にを掛けて整理すると 4r2-3(rcos0)=4rcoso
re=x2+y2, rcosô=x を代入すると 4(x2+y^)-3x2=4.x
すなわち
x2-4x+4y'=0
したがって
(2) (1) より, 曲線Cの概形は右の図のようになる。
よって,求める体積を V」とすると Viroydx
(x-2)2
4
V₁=x[ {-(*=2¹³² +1}ax
(x-2)2
4
8
-1
したがって
+1 であるから
(x-2)3
12
4cos
4-3cos²0
==[-(*1
(3) (1)より,x2-4x+4y2=0であるから
x=2+2√1-y²
+x
Lo
= 16x, √1-y²dy
-1
x=2+2√1-y2,x2=2-2√1-y2 とする。
このとき, 求める体積をV2とすると
V₁==x√²,₁x₁³dy-S²₁x²³dy
(1) で表される曲線をCとす
(3) 82
π
V₁=16x=8m²
?
=7²₁ (8—4 y² +8√/1 — y²)dy—¨ πſª¸ (8 — 4 y² — 8√/1 — y² )dy
==
82
(x-2)²
4
-+y²=1
-1
ここで,S,Vi-yadyは半径1の半円の面積を表すから vidy=1
Svityody=号
D
2
