この問題の解き方が分かりません💦 中点連結定理の単元です、、、

modi 81= (2) 右の図で、△ABCの3辺BC, CA, ABの中点をそれぞれD, E, F とする。△ABCの周の長さが34cmであるとき, △DEF の周の長さ を求めなさい。 Warm Up F B4 HALO E DC D

（3）に入る答えがD.Duringなんですけど、なんでDになるんですか？💦

2. 空所(3) に入る最も適切なものを選択肢から選び、その記号をマークせよ (解答用紙B)。 A. After D. During B. Before C. Between

どなたか解答して下さい

ⅡI. 次の 17 17 18 19 20 21 22 23 から一つずつ選びなさい。 Her ( 23 の各英文の空欄に入る最も適切なものを,それぞれの中 today presentation 3 presentation today The new ATM is easier for ( ) left nothing to be desired. visual impairing 3 visually impairing killing 3 for which dies ones Food contamination is a serious problem in the U.S., ( year. given The 21st century has ( The results of the experiment were greatly different from ( expected. + because 3 is that ) people to use. 2 that presentation's today today of presentation making to oblige 3 obliged to make visual impaired visually impaired 2 seen 2 with killing 4 the death of 3 which One of the main causes of the declining birthrate in Japan ( chosen to remain unmarried. ) about 5,000 people every 3 resulted ) the rise of various new business models. ) the researchers had 2 is the reason 4 so that 4 what Some workers just seem to follow orders and become confused when ( decisions. 4 appeared ) more people have making obliged to obliging to make ) their own

シャーペンで印のついているhaveの働きを教えてください。 完了形だったらhelpが過去分詞になると思うのですが、 よろしくお願いします。

Model Essay 2F 名詞を修飾する ② 将来, ロボットが行うと思われることがいくつかあります。 第一に, ロボットにお年寄りの介護を手伝ってもらうでしょう。 ロボットはカ 強く, お年寄りの日々の介助ができます。 第二に, 農家の代わり に十分である をするロボットを入手するでしょう。 そのようなロボットは日本の 労働力不足を補う助けとなるでしょう。 There are a few things that I think robots will do in the future. Firstly, we will have robots help us take care of the elderly. Robots are powerful enough to assist them in daily care. Secondly, we will get robots which can take the place of farmers. Such robots will help to make up for Japan's labor shortage. (57 words) [ OXO コ

解答してくださると助かります！

ⅡIⅠ. 次の 17 17 18 19 20 21 22 23 から一つずつ選びなさい。 Her ( 23 の各英文の空欄に入る最も適切なものを、 それぞれ~ の中 today presentation presentation today The new ATM is easier for ( visual impairing visually impairing ) left nothing to be desired. killing 3 for which dies ones + given Food contamination is a serious problem in the U.S., ( year. The 21st century has ( 3D is that The results of the experiment were greatly different from ( expected. because 2 that 2 presentation's today 4 today of presentation ) people to use. 2 2 seen making to oblige 3 obliged to make visual impaired visually impaired with killing 4 the death of which One of the main causes of the declining birthrate in Japan ( chosen to remain unmarried. ) about 5,000 people every 3 resulted ) the rise of various new business models. ) the researchers had 2 is the reason so that 4 what Some workers just seem to follow orders and become confused when ( decisions. 4 appeared ) more people have making obliged to obliging to make ) their own

97番です 解答ではこう書いてありますが、合同式を使っても証明出来ると思うのですがどうでしょうか？

~4₁-an ) +1 階数 ATL 221-1= ②=1+3× b₁ = a₂-a₁ 2(bn+1) anti-an -n+/=3₁² ON= KXI a.0 [x² ②3で割った余りが0, 1,2の場合に分ける。 → 3k, 3k+1,3k+2 (n = ant a=1 12-3X-10= 研究 自然数や整数に関わる命題のいろいろな証明 余りによる整数の分類 整数は、次のように分けることができる。 (左は整数) ① 偶数と奇数に分ける (2で割った余りが 0, 1)。 → 2k, 2k+1 (+1)ami,+αBan 一般に,正の整数mが与えられると、 すべての整数nは mk, mk+1, mk+2,......, mk+(m-1) ante=5(ant) =-2(am b2+1 = -2 bn bn=(-2) ante +2 (ant)=5ant Cnt=5cm, 7Gm=5m² an= 5h S ant=3ant (x-5)(x+ 第2節 数学的帰納法 「 141 O Ch=5 のいずれかの形で表される。 整数についての事柄を証明するとき, 整数をある正の整数で割った余りで分類して考える とうまくいく場合がある。 第1章 anto 数列 2 連続する整数の積の性質 連続するm個の整数には,必ずmの倍数が含まれるから,それらの積はの倍数である。 参考ksm(kは自然数) とすると, 連続する 個の整数には、必ずんの倍数が含まれる から,それらの積はんの倍数である。 したがって, 連続する 個の整数の積はm! の倍数である。 STEP B 97 (1) 整数n を 2で割った余りで分類することで, 3²-nが2の倍数である ことを証明せよ。 (2) 整数nを3で割った余りで分類することで,n-n+9が3の倍数であ ることを証明せよ。 98 nは整数とする｡ (1) 連続する2個の整数には、必ず2の倍数が含まれることを利用して、

129. 記述これでも大丈夫ですか？？

JUL 510 OS 00000 基本例題1291次不定方程式の応用問題 3で割ると余り, 5 で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の ものを求めよ。 指針▷ 基本 127,128 が共通の数。 8が最小である。 3で割ると2余る自然数は 2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 5 で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18,23, よって、「3で割ると2余り, 5 で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると 3と5の最小公倍数 15 ずつ大きくなる。 A8, 23, 38, 53, 68, また, 7で割ると4余る自然数は B 4, 11, 18, 25, 32, 39,46,53, A,B から、求める最小の自然数は53 であることがわかる。 このように、書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。 -110/ そこで,問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。 CTORUTSJEFE 解答 nはx,y,zを整数として,次のように表される。 注意x+2=5y+3 3)=0 S&TS 5y+3=7z+4 n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4 小 3x+2=5y+3 から 3x-5y=1 x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1) = 0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)x 3と5は互いに素であるからんを整数として, x-2=5kと表 される。よって x=5k+2(kは整数) ② bom) 3(5k+2)+2=7z+4 ② を 3x+2=7z+4に代入して ゆえに z=-8, k=-4 は、 ③の整数解の1つであるから 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(+4) 7と15 は互いに素であるから, lを整数として,z+8=157 と 表される。 よって z=151-8 (Zは整数) (Thom) これをn=7z+4に代入して n=7(157-8)+4=1057-528 最小となる自然数nは, l=1 を代入して 53 TE bom) 85-= として解いてもよいが,係 数が小さい方が処理しやす い。 このときy=3k+1 x-7z=2から 7z-15k=4...... ③③ A+ASA-=(A+10)-06-3(x-3)−7(z−1)=0 ゆえに, Zを整数として x=7l+3 これと x=5k+2 を等置し て 5k+2=7l+3 よって5k-71=1 これより, k, lが求められ るが, 方程式を解く手間が 1つ増える｡ 検討 百五減算 2+(3=376)00=1+00=178 ある人の年齢を3,5,7でそれぞれ割ったときの余りをa,b,c とし, n= 70α+216+15c とす る。このnの値から 105 を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数がその人の年 齢である。 これは 3,5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれ る。なお,この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。 求める数をxとすると, x=a (mod3), x=6 (mod5) x=c (mod7) であり, n=70a=1•a=a=x (mod 3), n=21b = 1.b = b = x (mod 5), n=15c=1+c=c=x (mod 7) よって, n-xは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7 の最小公倍数 105 で割り切れる。 ゆえに,を整数として, n-x=105k から x=n-105k このkが105を引く回数である。 TRON 練習 3で割ると2余り,5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数nのうち (3) 129 1000 を超えない最大のものを求めよ。 どのよう できない 3m よー 解答 mnは食 [1] n= よって, x=3m- [2] n= ここで. よって ......) [3] n= ここで よって ......) [1]~[3] 形に表す よって, したが一 (検討 次ペー しかし 然数も なお、 a

129. 記述これでも大丈夫ですか？？

JUL 510 OS 00000 基本例題1291次不定方程式の応用問題 3で割ると余り, 5 で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の ものを求めよ。 指針▷ 基本 127,128 が共通の数。 8が最小である。 3で割ると2余る自然数は 2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 5 で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18,23, よって、「3で割ると2余り, 5 で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると 3と5の最小公倍数 15 ずつ大きくなる。 A8, 23, 38, 53, 68, また, 7で割ると4余る自然数は B 4, 11, 18, 25, 32, 39,46,53, A,B から、求める最小の自然数は53 であることがわかる。 このように、書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。 -110/ そこで,問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。 CTORUTSJEFE 解答 nはx,y,zを整数として,次のように表される。 注意x+2=5y+3 3)=0 S&TS 5y+3=7z+4 n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4 小 3x+2=5y+3 から 3x-5y=1 x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1) = 0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)x 3と5は互いに素であるからんを整数として, x-2=5kと表 される。よって x=5k+2(kは整数) ② bom) 3(5k+2)+2=7z+4 ② を 3x+2=7z+4に代入して ゆえに z=-8, k=-4 は、 ③の整数解の1つであるから 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(+4) 7と15 は互いに素であるから, lを整数として,z+8=157 と 表される。 よって z=151-8 (Zは整数) (Thom) これをn=7z+4に代入して n=7(157-8)+4=1057-528 最小となる自然数nは, l=1 を代入して 53 TE bom) 85-= として解いてもよいが,係 数が小さい方が処理しやす い。 このときy=3k+1 x-7z=2から 7z-15k=4...... ③③ A+ASA-=(A+10)-06-3(x-3)−7(z−1)=0 ゆえに, Zを整数として x=7l+3 これと x=5k+2 を等置し て 5k+2=7l+3 よって5k-71=1 これより, k, lが求められ るが, 方程式を解く手間が 1つ増える｡ 検討 百五減算 2+(3=376)00=1+00=178 ある人の年齢を3,5,7でそれぞれ割ったときの余りをa,b,c とし, n= 70α+216+15c とす る。このnの値から 105 を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数がその人の年 齢である。 これは 3,5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれ る。なお,この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。 求める数をxとすると, x=a (mod3), x=6 (mod5) x=c (mod7) であり, n=70a=1•a=a=x (mod 3), n=21b = 1.b = b = x (mod 5), n=15c=1+c=c=x (mod 7) よって, n-xは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7 の最小公倍数 105 で割り切れる。 ゆえに,を整数として, n-x=105k から x=n-105k このkが105を引く回数である。 TRON 練習 3で割ると2余り,5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数nのうち (3) 129 1000 を超えない最大のものを求めよ。 どのよう できない 3m よー 解答 mnは食 [1] n= よって, x=3m- [2] n= ここで. よって ......) [3] n= ここで よって ......) [1]~[3] 形に表す よって, したが一 (検討 次ペー しかし 然数も なお、 a

124.1 n≡1,3,5,7(mod8)とはどういうことですか？

D U う。 7 演習 例題 124 合同式を利用した証明 (2) on は奇数とする。 このとき,次のことを証明せよ。千葉大 ] (1218の倍数である。 (2)は3の倍数である。 3 10の倍数である。 決まった数の割り算(倍数)の問題では合同式の利用の方針の解答を示す。 指針▷ (1) は法8の合同式を利用し, (②)は法3の合同式を利用することはわかるが, (3) を法120 の合同式利用で進めるのは非現実的。 そこで, (1), (2) は(3) のヒントに従って n³_n=n(n²+1)(n²-1) は 8×3=24の倍数 考えると (2) から、3の倍数↑↑↑ (1) から8の倍数 120+24=5であるから、後は,n-nが5の倍数であることを示せばよい。 解答 (1) nは奇数であるから n n=1,3,5,7 (mod 8) このとき、 右の表から n²-1=0(mod 8 ) よって、nが奇数のとき, ²-1は8の倍数である。 (2) 2012 (mod3)のとき, 右の表から-n=0 (mod3) よって は3の倍数で ある。 n 1 3 19≡1 0 0 2 nº n²- 2 n n5-n 0 5 7 25=1 49=1 0 0 || (3) n5-n=n(n²+1)(n²−1) ここで,(1) から²-1は8の倍数であり,これと (2) から, ninは24の倍数である。 0 1 2 n n5 0 15 1 25=2 n n 0 0 0 ゆえに -n が 120の倍数であることを示すには,n-n が5の倍数であることを示せばよい。 n=0,1,2,3,4 (mod5)のとき, n-nを計算すると, 次の表のようになる。 0 1 0 15=1 0 って ns-n=0 (mod 5) したがって, nn は 8 かつ3かつ5の倍数, すなわち120 の倍数である。 3 4 2 25=2 35=3 45=4 0 0 0 演習 123 n は奇数であるから, 8で 割った余りが偶数になるこ とはない。 条件では, n は奇数である が すべての整数nについ ては3の倍数であ る。 120=3-5-8 5 を法として 35=34-3=1.3, 4°=4.4≡(42)2.4=1･4は M 3と5と8は互いに素。 の特集 TURAL で割り切れない奇数のとき, n-1は80で割り切れることを証明せよ。 5でも割り切れない整数のとき, n-1は240で割り切れ 497 4章 19 発展合同式 ･ある。 ある。 :-1) たと 数は, 2) 数で ある には, ①へ。 5 るな を満 つ。 5 る n進 いう。 14234

122.1.ア 記述これでも大丈夫ですか？？

は る)。 D a ある。 pk k 2 2 演習 例題 122 合同式の利用… 累乗の数の余り 合同式を利用して,次のものを求めよ。 (1)(ア) 13109で割った余り (イ) 20002000を12で割った余り[(イ) 早稲田大〕 (2) 472011 の一の位の数 [(2) 類 自治医大 ] p.492 基本事項 ③3 指針 乗法に関する次の性質を利用する。 a=b (mod m), c=d (modm) のとき 3 ac=bd (mod m) 法則 (1) 累乗の数に関する余りの問題では、余りの周期性に着目することがポイントである。 また, 合同式を利用して,指数の底を小さくしてから,周期性を調べると計算がらくに 注意 α” のα を指数の底という。 なる。 特に, an≡1(mod m) となるようなnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。 ESTAH I 11 (2) ある自然数 N の一の位の数は,Nを10で割ったときの余りに等しい。したがって, 10 を法とする剰余系を利用する。 CHART 累乗の数を割った余りの問題 余りの周期性に注目 ...... 4 自然数nに対し a"=6"(mod m) (ア) 13 4 (mod 9) であり 42=167 (mod 9), 43=64=1 (mod 9 ) ゆえに 41004 (43)33=4(mod9 ) よって13100=41004 (mod9) したがって 求める余りは 4 (イ) 20008 (mod 12) であり 8³ 8.4 8 (mod 12), ゆえに,kを自然数とすると よって したがって、求める余りは 4 477 (mod 10) であり 7³ 9.7 3 (mod 10), 羽 8²=64=4 (mod 12), 84≡(82)2=424(mod 12) 82k=4 (mod12) 20002000 82000=4 (mod 12) 72=49=9 (mod 10), 74=92=1 (mod 10 ) ゆえに よって 72011 (74) 502.73=1502･3=1.3=3 (mod 10) 472011=72011=3 (mod 10) したがって 472011 の一の位の数は 3 CHARO-[0] 13-4=9であるから 13 と4は9を法として合同で あることに着目し, 4” に関 する余りを調べる。 132, 13 を9で割った余り を調べてもよいが, 一般に 42 43 の方がらく。 合同式を利用して、 次のものを求めよ。 2000" の計算は面倒。 2000を12で割った余りは 8であるから, 2000 と8は 12 を法として合同。 したがって, 8" に関する余 りを調べる。 <47=10・4+7 2011=4・502+3 割った余り (イ) 30003000 を14で割った余り BST 495 4章 19 発展合同式 U る。 いる。 2) -1) でる にと は, は, う。 な 満 進 いう。