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遠心力に関係した身近なものとしては, 洗濯機や遊園地のループ式ジェットコースターなどがある。
例題 15 鉛直面内での円運動
右図のような, 半径[m〕のなめらかな円筒面に向
けて,質量m〔kg〕 の小物体を大きさvo [m/s] の初速
度でなめらかな水平面からすべらせる。 重力加速度の
大きさをg〔m/s'] とする。
53 58 62
B
C
10
(1) 鉛直線となす角が0の点(図の点C) を通過すると
きの, 小物体の速さと面から受ける垂直抗力の大き
さを求めよ。
m
Vo
A
5
(2) 小物体が点Bを通過するための の条件を求めよ。
●センサー14
解答 (1) 点での小物体の速さを
円運動では,地上から見て
解くか, 物体から見て解く
かを決める。
[m/s] とすると, 力学的エネルギー
保存の法則より
B
mgcoso
N
C
1
12=
mvo mv2. +mg(r+rcose)
① 地上から見る場合
遠心力は考えず,力を円の
半径方向と接線方向に分解
し,円運動の半径方向の運
動方程式を立てる。
2
ゆえに、
rcos 00
0
mg
m-=F
r
または mrw=F
② 物体から見る場合
v = √v2-2gr(1+cos0) [m/s]
垂直抗力の大きさをN[N] とすると,
地上から見た円運動の運動方程式は,
m- =N+mg cose
r
これに”を代入し、整理すると,
......①
遠心力を考え、力を円の半
径方向と接線方向に分解し,
半径方向のつり合いの式を
立てる。
※どちらでも解ける。
2
mvo
N=
-mg (2+3cos) 〔N〕
r
……②
● センサー 15
物体が面に接しているとき,
垂直抗力 N≧0
(1) 水平面を重力による位置
エネルギーの基準面とする。
別解 小物体から見ると, 円の半径方向にはたらく力は,実際
にはたらく力のほかに、円の中心0から遠ざかる向き
に遠心力がはたらいている。 半径方向の力のつり
合いより,
N+mg cosm-00 (量的関係は上と同じ)
r
圃 非等速円運動では,円の接線方向にも加速度があり、物体か
ら見た場合、接線方向での力のつり合いを考えるためには、接
線方向にはたらく慣性力を考える必要がある。
(2)(1)より,00π [ad] では, 0が小さくなるにつれて, v,
Nはともに減少していく。 点Bを通過するためには,点B
でぃ> 0 かつN≧0 であればよい。 ① より 0=0を”に代
入して,
v= √vo²-4gr
よって,vo4gr>0 ゆえにvor
注 ③ ④を比較すると,
N≧0(面から離れない条件) が
2 の条件を決めることになる。
2
mvo
また,②より 0=0をNに代入して、N=
5mg
r
2
mvo
よって,
-5mg≥0
ゆえに、vo√5gr
r
③ ④ がともに成り立つためには,vo ≧√5gr
5円運動
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