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(5)次は,先生.Sさん、Tさんの会話です。 これを読んで、下の①、②に答えなさい。
先生「次の表はA欄に1から始まる自然数を順に書き, A欄のそれぞれの数の2乗をB欄に
書いたものです。 表を見て、何か気づいたことはありますか。」
A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100121
Sさん 「A欄のとなりあう数の和を調べると, 3, 5, 79, 11. ……… 2ずつ増加してい
て、B欄のとなりあう数の差(大きいほうの数-小さいほうの数)を調べると,同様に、
3,5,7,9,11, ... と2ずつ増加しています。」
Tさん「本当だ! A欄のとなりあう数の和は, A欄のそれぞれの数の2乗の差で表せていて、
それらは奇数になっていますね。」
Sさん 「確かに･･･。 「2+1=3.3=2"-1」 や 「4+3=7, 7=42-32」が成り立って
いますね。」
先生「そうですね。 1も 『1=1202」 と表せることから,どんな正の奇数も, 連続する2
つの整数の2乗の差で表せることがわかります。 そのほかに, 何か気づいたことはあり
ますか。」
Tさん 「B欄には「4の倍数より1大きい数」と「4の倍数」 が交互に並んでいます。A欄の
数が奇数のときB欄の数は4の倍数より1大きい数で, A欄の数が偶数のときB欄の数
は4の倍数です。」
Sさん 「B欄の数をよく見ると,「4の倍数より大きい数」 は 「8の倍数より1大きい数』 に
もなっていますね。」
Tさん 「すなわち, 奇数の2乗は8でわると1余る数になるということですね。」
先生 「そのとおりです。 どうしてそうなるのか確かめてみましょう。」
① Sさんが示した例 (3=22-12」 や 「7=42-32』)のように, 27を連続する2つの整数の2
乗の差で表します。 次の式の[ □ にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。 (4点)
2
12
② 下線部が成り立つことを,次のように証明しました。
ア
にあてはまる式を, n を使っ
た最も簡単な形で書きなさい。 ただし, 因数分解した形で書きなさい。 また,イにあてはまる
自然数を書きなさい。(4つのア ■には同じ式が、3つのイには同じ数が入ります。)
(証明) 奇数は整数nを使って 2n+1 と表せるので,その2乗は、
(5点)
(2n+1)^2=4 ア + 1
あ
ここで
ア ]は,連続する2つの整数の積を表している。
連続する2つの整数のどちらか一方はイの倍数だから、その積はイの倍数である。
したがって アは,整数を使って, ア
これより、あから, (2n+1)=8m +1 ....⑰
イ m と表せる。
m は整数だから いより、奇数の2乗は8でわると1余る数になる。
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