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練習28 4, bは実数とする。3次方程式パ+r+ax+b=0が1+iを解、
もつとき,定数4, bの値を求めよ。また,他の解を求めよ。
「指針] 高次方程式と虚数解
→ P(a)=0
方程式 P(x)=0 が aを解にもつ
すなわち,1+iがこの方程式の解であるから, xに1+iを代入した
等式が成り立つ。その左辺をiについて整理し,次のことを使う。
a, bが実数のとき a+bi=0 → a=0かつ 6=0
解答 1+iがこの方程式の解であるから
(1+)°+(1+)+d(1+)+6=0
2:-2+2i+atai+6=0
(atb-2)+(a+4);i=0
atb-2, a+4は実数であるから
atb-2=0, a+4=0
これを解くと a=-4, b=6
このとき,方程式は x°+x°-4x+6=0
P(x)=x°+x°-4x+6 とすると
P(-3)=(-3+(-3P-4(-3)+6=0
(1+パ-2。
(14-2-A
よって
整理して
-2x +2
x+3)+ *-4x+6
*+32
-2x-4x
-2x-6x
よって P(x) はx+3を因数にもち
P(x)=(x+3}(x"-2x+2)
2x+6
2x+6
P(x)=0 から
圏 a=-4, b=6, 他の解は -3, 1-i
x=-3, 1±i
