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座標を利用した証明(2)
基本 例題85
AABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
基本 72
指針> p.117 基本例題72 と同じように、計算がらくになる 工夫をする。 (0.0)0
D 座標に0を多く含む
座標の工夫
[2] 対称に点をとる
この例題では、各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから, 各辺の中点の座標に分数が
現れないように,A(2a, 26), B(-2c, 0), C(2c, 0) と設定する。
なお、本間は三角形の外心 の存在の, 座標を利用した証明にあたる。
3章
こりえない。
できる。
解答
ZA を最大角としても一般性を失わな
い。このとき,LB<90°, ZC<90°
である。
の直線 BC をxr 軸に,辺BCの垂直二等
注意 間違った座標設定
例えば,A(0, b), B(c, 0),
C(-c, 0) では,△ABC は
二等辺三角形で,特別な三角
形しか表さない。
座標を設定するときは, 一般
性を失わないようにしなけ
A(2a,26)
面 AO
N
宝
K
M
分線をy軸にとり, △ABC の頂点の
座標を次のようにおく。
A(2a, 26), B(-2c, 0), C(2c, 0)
ただし a20, b>0, c>0
また,ZB<90°, ZC<90°から,aキc, aキ-Cである。 点 するから, 分母=0 となら
更に,辺BC, CA, AB の中点をそれぞれL. M. Nとする ないように, この条件を記
と。
場合は、そ
\C
2c x
B
-2c
0|L
こ ればならない。
の場合。
: 証明に直線の方程式を使用
している。
L(0, 0), M(a+c, b), N(a-c, b) と表される。
辺ABの垂直二等分線の傾きをmとすると,直線 AB の傾き
+c同
0-26
b
点 は
点社
b
であるから,m:
atc
m=ー
atc-1より
-2c-2a atc
よって,辺 AB の垂直二等分線の方程式は
(点N(a-c, b) を通り,傾
atc
ソー6=-TC(x-a+c) 黒点0から直線くに
の直線。
6
道A:S. っ
b
熟曲 8
atc
a+8-c
ソ=ー
x+
b
の
すなわち
い
H
辺ACの垂直二等分線の方程式は, ①でcの代わりに -cと
α+6-C
b
辺 ACの垂直二等分線は,
傾き
b
の直線 AC に
a-c
おいて
の
a-c
ソ=ー-
b
垂直で,点M(a+c, b) を
通るから,Oでcの代わ
りに-cとおくと,その方
程式が得られる。
2直線の, 2 の交点をKとすると,①, ②のy切片はともに
a+68-c
b
a°+6°-c?
であるから K(0, "+がーC)
b
点Kは,y軸すなわち辺BCの垂直二等分線上にあるから、
AABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
る会(論 る〉
|3 直線の方程式、2直続6B仁
いよ。
本T花
