演習 例題 83 直線と平面のなす角, 直線に垂直な平面
x-2_y+1
(1) 直線l:
=
4
-1
=z-3と平面α:x-4y+z=0 のなす角を求めよ。
(2)点A(1,1,0)を通り,直線x6=y-2=-
1-z
に垂直な平面の方程式を
2
求めよ。
た
演習 78,80
指針▷(1)直線lと平面αのなす角は,lのα上への正射影(*)を l'
とすると, 右の図のようにll のなす角 0 である。
したがって, 平面αの法線ベクトルを直線lの方向ベ
クトルをdとdのなす角を とすると, 0=90°-01
または 0=01-90°である。
!
(2)直線に垂直な平面 → 直線の方向ベクトルが平面の法線
ベクトルである。
解答
(1) 直線lの方向ベクトルをd=(4,1,1) とし, 平面 α
の法線ベクトルを=14,1)とする。
dとんのなす角を10°
180°) とすると
d.n
COS G1=
dn
=
4・1+(-1)・(-4)+1・1
√4°+(-1)+12√1°+(−4)'+12
1
=
20
0° 180°であるから
=60°
よって、直線lと平面αのなす角は
90°-60°=30°
(2) 館
6
21
日
a
(*) 直線l上の各点から平
面αに下ろした垂線の足
の集合を,直線lのα 上へ
の正射影という。
A
4+4+1_9_1
√18 18 18 2
h z-C
