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106
C 不等式の証明
応用
例題
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第3章 数列
証明
を4以上の自然数とするとき,次の不等式を証明せよ。
n
2n> 3n
考え方であるから,次のことを示す。
[1] n=4 のとき, 不等式が成り立つ。
[2] 4 として,n=kのときの不等式2>3k が成り立
つと仮定すると, 不等式 2k+1 > 3(k+1) が成り立つ。
この不等式を (A) とする。
[1] n=4 のとき
いて、(1+
よ。
左辺= 24 = 16,
右辺= 3.4=12
よって, n=4のとき, (A) が成り立つ。
[2] k≧4 として,n=kのとき (A) が成り立つ,すなわち
2k > 3k
が成り立つと仮定する。
n=k+1 のときの(A) の両辺の差を考えると
2k+1-3(k+1)=2.2-(3k+3)
>2.3k-(3k+3)
=3(k-1)>0
■2>3k より
■≧4より
k-1>0
5
すなわち
2k+1 3(k+1)
よって,n=k+1 のときも (A) が成り立つ。
[1],[2] から,4以上のすべての自然数nについて (A)が成り
立つ｡
10
15 次の
(1)
(2)
(3)
15
16 次の
よ｡
a₁
17 次
20
(1)
(2)
18 次
19
(
