DOO
本71
10
くる
=a,
例題
31 線分の垂直に関する証明
日本
基本
00000
ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき,次のことを示せ
OA+OB+OC=OH である点Hをとると, Hは △ABCの垂心である。
(2) (1)の点Hに対して, 3点0,G, Hは一直線上にあり GH=2OG
指針
[類 山梨大 ]
基本 25 基本 71
① 三角形の垂心とは,三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交
点である。
AH≠0, BC ≠0, BH 0, CA ≠0のとき
AHLBC, BHICA AH BC=0, BH CA=0......
であるから,内積を利用して, A〔(内積)=0] を計算により示す。
◯は △ABCの外心であるから, OA|=|OB|=|OC| も利用。
CHART 線分の垂直(内積)=0を利用
(1)∠A=90°,∠B キ90° としてよ
A
直角三角形のときは
635
1
G)
1815
解答
い。 このとき,外心Oは辺BC,
CA上にはない。
****
①
AOO
BC CAUAY
OH=OA+OB+OC から
AH OH-OA=OB+OC
ゆえに A・BC
=(OB+OC) (OC-OB)
よって
=OC-OB=0.
同様にして
B
BH CA=(OA+OC)·(OA-OC)
=|OA|-|OC|=0
また,① から AH = OB+OC = 0, BH=OA+OC≠0
よって, AH ≠0, BC≠0, BH = 0, CA 0 であるから
である。
AHLBC, BHLCA
C)=10=408+00S
AO+50
LS
(数学A)
目
C=90° とする。
このとき,外心は辺 AB
上にある (辺AB の中
点)。
直径に対する円周角に
必ず90%
IBC=OC-OB (分割)
[△ABCの外心0→
50+100A=OB=OC
すなわち AH⊥BC, BHICA
15?
したがって, 点Hは△ABCの垂心である。
検討
検討
外心、重心、心を通る直
線 (この例題の直線
Olar=9OGH) をオイラー線 と
いう。ただし、正三角形
は除く。
