基本例題
次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
[ 257 曲線x=g(y) とx軸の間の面積
(1) y=elogx, y=-1, y=2e,y軸
(2) y=-cosx (0≤x≤7),
解答
(1) y=elogx から
-1≦y≦2e で常に x>0
2e
1 *₂7_S=S²,₁e²dy=[e•e²]
()=e•e² - e•e=²
=e³-e¹-
よって
(2)y=-cosx から
よって
指針まず, 曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。
(1) yelogxをxについて解き,yで積分するとよい。
・･･・xについての積分で面積を求めるよりも、計算がらくになる。
=
2
(2)(1) と同じように考えても,高校数学の範囲では y=-cosx を
x=g(y) の形にはできない。そこで置換積分法を利用する。
(1),(2) ともに別解のような, 長方形の面積から引く方法
ABRONAL: 1)
でもよい。
k
x=ee
---xcosx]+S
|
COS
π
= +²+0=
3
6
s-S²(xdy-S² xsinx dx S
2
π
· — ²/² π · ( − 1 1/2 ) + + 5 + 1/1/2
.
3
TC
=-=-=1/2/₁
2'
dy=sinxdx
2/3 1/3
一
+[sinx
2
よって
cosxdx
y=-
2/3 43
YA
2e
O
1
2,y軸
y
YA
1 |1
2.
O
-e2.
Spic=x
1
S
2e+1
'1
2
I
π
3
e2
8√3,
Sa $30
!
p.424 基本事項 ③
82200000
-2-3
23
y=–cost
......
fibr
π x
=e³_e¹-1
1
1
2
2
(2) の 別解 (上と同じ方法)
1_ _‚ ²², s=²×·(²+1) =te
π
2 S=
→ π
3
3
-cosx++)dx=
YA
d
=2e³+e²
3
重要 263
(1) 別解 (長方形の面積か
ら引く方法)
S=e²(2e+1)
2
x=g(y)
-Se-(elogx+1)dx
-[e(xlogx-x)+x
s=Sg(y)dy
常に
g(y)≥0
-
+ sinx
427
81
3
面
和
