基礎問
68 第3章 いろいろな関数
40 逆関数
f(x)=ax-2-1 (a>0.22)とするとき、次の問いに答えよ。
((1) y=f(x)の逆関数 y=f(x) を求めよ。 エーエ
(2) 曲線 C:y=f(x) と曲線 C2y=f-' (z) が異なる2点で交わる
ようなαの値の範囲を求めよ.
(3) C1, C2 の交点のx座標の差が2であるとき, αの値を求めよ。
精講
〈逆関数の求め方〉
y=f(x) の逆関数を求めるには,この式を
x=(yの式)と変形し,xとyを入れかえればよい
〈逆関数のもつ性質>
Ⅰ. もとの関数と逆関数で, 定義域と値域が入れかわる
Ⅱ. もとの関数と逆関数のグラフは,直線 y=x に関して対称になる
逆関数に関する知識としてはこの3つで十分ですが,実際に問題を解くとき
〈逆関数のもつ性質〉を上手に活用することが必要です。この基礎問では,IIが
ポイントになります。
解答
(1) y=√ax-2-1 とおくと, √ax-2=y+1
リーェに
で交わる
ry-f
よって
すな
範囲
求め
そこ
この
(3)
よって, y+1≧0 より, 値域はy≧-1
ここで,両辺を2乗して
大切!!
ax-2=(y+1)2
.
x=11 (y+1)²+² (y≥−1)
a
よって、f(x)=1/2(x+12+2/2/(x-1)
a
a
【定義域と値域は入れ
かわる
注 「定義域を求めよ」 とはかいていないので, 「x≧-1」は不要と思う
人もいるかもしれませんが,xの値に対して」を決める規則が関数で
すから、xの範囲, すなわち, 定義域が「すべての実数」でない限り
は、そこまで含めて 「関数を求める」 と考えなければなりません.
(2) y=f(x)とy=f(x)のグラフは,凹凸が異なり,かつ,直線
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