-
![]()
-
![]()
=
六
-
(n-1)
]覚える
覚える!!
3 漸化式と数学的帰納法
(103)
B
例題 B1.49 数学的帰納法 (2) 不等式の証明
.
****
nが2以上の自然数のとき, 1+ 1
+
22
1
32
1
++
<2- が成り立
n°
n
つことを数学的帰納法で証明せよ。
考え方 2以上の自然数について成り立つことを示すので、次のことを証明すればよい.
(I) n=2 のとき, 不等式が成り立つことを示す.
(II)=k(k≧2) のとき, 不等式が成り立つと仮定し、これを用いて,n=k+1 のと
きも成り立つことを示す.
解答)
1+
1 1
+ + + <2-
22 32
1
1
..... ① とおく。
n"
n
(I) n=2 のとき,
1 5
(左辺)=1+-
13
(右辺) =2-
22 4'
22
より, (左辺) く (右辺) となり, n=2のとき①は成り立つ.
(II)n=k(k≧2) のとき, ①が成り立つと仮定すると,
んは2以上の自然数
1 1
1+ +
22 32
n=k+1 のとき,
1+2+3
・十 <2-
k²
(*)
k
1 1
1
1
1
+
・+
<2
何を示すかを明記
k²
(k+1)2
k+1.
する.
が成り立つことを示す.
(右辺) (左辺)
1
1 1
=2-
1+ +
(右辺) (左辺) > 0
を示せばよい.
k+1
22 32
(k+1)2
1
>2-
2- +
k+1
k
(k+1)2
(*) の仮定を利用す
るが,不等号の向き
に注意する.
1
0
k(k+1)2-
したがって, (右辺) (左辺) > 0 となり, n=k+1 の
書くならば,
->->
ときも①は成り立つ.
(I) (II)より,2以上のすべての自然数nについて①は成り
は2以上の自然数
だから, k(k+1)">
1
立つ.
よって,
k(k+1)''
ocus
数学的帰納法の証明
一 何が仮定で(スタート), 何を示すべきか (ゴール) を明確に
注>> 例題 B1.49 や練習 B1.49 のように, n=1 から始まらず, 最初の数が n=2 や n=
などとなる場合もある.
聞 (1) h>0 でnが2以上の自然数のとき, (1+h)">1+nh を証明せよ。
(東北学院
4以上の自然粉のとき 2"" を証明せよ。
p. B1-89
