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基本 例題24 比例式と式の値
atx
44
xy+ yztzx
x+y°+z?
の値を求めよ。
(キ0)のとき,
x+y_ytz
7
6
5
基本 23
cta
b
atoのとき,この式の値を求めよ。
b+c
C
a
比例式は =k とおく の方針で進める。
指針>条件の式は比例式であるから,
(1) =k とおくと
これらの左辺はx,y,2が循環した形の式であるから, ④の辺々を加えてみる。
すると, x+y+zをんで表すことができる。右下の検討参照。(2) も同様。
x+y=5k, y+z=6k, z+x=7k
AH
解答
x+y_y+z
6
2十x -kとおくと, kキ0で
検討
5
7
①~③の左辺は, x, y, zの
0, y+z=6k
2, z+x=7k
x+y=5k
O+の+3 から
循環形(x→y→2→xとおくと
次の式が得られる)になって
いる。循環形の式は, 辺々を
加えたり,引いたり すると、
処理しやすくなることが多い。
2(x+y+z)=18k
x+y+z=9k
の-2, ④-③, ④-①から, それぞれ
ソ=2k,
xy+ yz+zx
x*+y°+z?
したがって
x=3k,
ス=4k
bコーd0
x:y:z=3:2:4から
3-2+2·4+4.3
3+22+4°
と計算することもできる。
6k°+8k°+12k?
よって
bo-
26k?_ 26
29k?
29
(2) 分母は0でないから
abcキ0
(abcキ0→aキ0かつ
6+c
C+a
a+b
=Dk とおくと
b
bキ0 かつ cキ0
a
b4
C
6+c=ak
0, c+a=bk
2, a+b=ck
2(a+b+c)=(a+6+c)k
の+の+③ から
よって
(a+b+c)(k-2)=0
10の可能性があるから,
両辺をa+b+cで割って
はいけない。
(*)k=2のとき, ①, ②か
ら 6+c=2a, c+a=26
この2式の辺々を引いて
6-a=2(a-b)
よって a=b
4(分母)キ0 の確認。
ゆえに
a+b+c=0 または k=2
[1] a+b+c=0 のとき
b+c=-a
よって
b+c.
k=
ーa
-=-1
a
a
[2] k=2のとき, ①-②から a=6*
よって, a=b=cが得られ, これはabcキ0を満たすすべ
2-3から b=c
ての実数 a, b, cについて成り立つ。
「1], [2] から, 求める式の値は
-1, 2
x+y
4
ー+z_2+x
6
7
(キ0)
Q
の
